量子物理基础岭师吴旭明.ppt

在空间闭区域τ中将上式积分，则有： 闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量 J是几率流密度，是一矢量。 所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。 令 Eq.（7）τ趋于 ∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.（7）变为： 其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同 使用 Gauss 定理 单位时间内通过τ的封闭表面 S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率 S ? * 讨论： 表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。 （1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。 （2） 以μ乘连续性方程等号两边，得到： 量子力学的质量守恒定律 同理可得量子力学的电荷守恒定律： 表明电荷总量不随时间改变 质量密度 和 质量流密度矢量 电荷密度 和 电流密度矢量 * （二）再论波函数的性质 1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 d τ 2. 已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。 （1）波函数完全描述粒子的状态 （2）波函数标准条件 1. 根据Born统计解释 ω(r, t) = ψ*(r, t) ψ(r, t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求ψ(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。 * 式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。 2.根据粒子数守恒定律 : * （3）量子力学基本假定 I、 II 量子力学基本假定 I 波函数完全描述粒子的状态 量子力学基本假定 II 波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程 * §6 定态Schrodinger方程 （一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质 * （一）定态Schrodinger方程 现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程： 令： 于是： V(r)与t无关时，可以分离变量 代入 等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数 * 该方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。 此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 空间波函数ψ(r)可由方程 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 * （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （1）Hamilton 算符 二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 是相当的。这两个算符都称为能量算符。 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符 再由 Schrodinger 方程： * （2）能量本征值方程 （1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数 学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； 将 改写成 （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方 法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状 态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 * （三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： （1）列出