高等数学a(一)期末j试题及答案.doc

济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A卷） 课 程 高等数学A（一） 考试时间 2013 年 12 月 31 日 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) ． (2) 设，则 ． (3) 曲线的拐点是 . (4) . (5) 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) (A) (A) . (B) . (C) . (D) . (2) 设，则是函数的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当时，下列变量中与是等价无穷小的是(B) (A) . (B) . (C) . (D) . (4) 函数在点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设在内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) . (B) . (C) . (D) . 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) .解： (2) .解： 设函数由方程所确定，求：和. 两边对求导得： 所以得; 四、计算下列积分（每小题8分，共32分） . 解： (2) . 解：令，，则： (3) . 解： (4) . 解：令，则，， 五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 设函数由参数方程所确定，求函数的极值. 解：，令，得，代入得：。 当时，，所以；当时，，所以。 函数的极大值为。 (2) 过点做曲线：的切线，切点为；由曲线，直线和轴所围成的图形记为. 求： (Ⅰ) 的直线方程； (Ⅱ) 绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：(Ⅰ)设点的横坐标为。由于，所以，即， 点的坐标为，的直线方程为。 (Ⅱ) 六、证明题（10分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，.证明：(Ⅰ) 存在一点，使得； (Ⅱ) 在内存在两点和，使得. 证：(Ⅰ)由于在闭区间上连续，且，有介值定理，存在一点，使得。 (Ⅱ)由于在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内存在一点，使得；又在内存在一点，使得。 所以： 下面是“十个小故事大道理”不需要的朋友可以下载后编辑删除！！！谢谢！！！ 小故事1、《扁鹊的医术》 　　魏文王问名医扁鹊说：“你们家兄弟三人，都精于医术，到底哪一位最好呢? 　　扁鹊答：“长兄最好，中兄次之，我最差。 　　文王再问：“那么为什么你最出名呢? 　　扁鹊答：“长兄治病，是治病于病情发作之前。由于一般人不知道他事先能铲除病因，所以他的名气无法传出去;中兄治病，是治病于病情初起时。一般人以为他只 能治轻微的小病，所以他的名气只及本乡里。而我是治病于病情严重之时。一般人都看到我在经脉上穿针管放血、在皮肤上敷药等大手术，所以以为我的医术高明， 名气因此响遍全国。 　　大道理：事后控制不如事中控制，事中控制不如事前控制。 　　小故事2、危险的森林里 　　一个人在森林中漫游时，突然遇见了一只饥饿的老虎，老虎大吼一声就扑了上来。他立刻用最快的速度逃开，但是老虎紧追不舍，他一直跑一直跑，最后被老虎逼到了断崖边。 　　站在悬崖边上，他想：“与其被老虎捉到，活活被咬死，还不如跳入悬崖，说不定还有一线生机。” 　　他纵身跳入悬崖，非常幸运地卡在一棵树上。那是长在断崖边的梅树，树上结满了梅子。 　　正在庆幸之时，他听到断崖深处传来巨大的吼声，往崖底望去，原来有一只凶猛的狮子正抬头看着他，狮子的声音使他心颤，但转念一想：“狮子与老虎是相同的猛兽，被什么吃掉，都是一样的。” 　　刚一放下心，又听见了一阵声音，仔细一看，两只老鼠正用力地咬着梅树的树干。他先是一阵惊慌，立刻又放心了，他想：“被老鼠咬断树干跌死，总比被狮子咬死好。” 　　情绪平复下来后，他看到梅子长得正好，就采了一些吃起来。他觉得一辈子从没吃过那么好吃的梅子，他找到一个三角形的枝丫休息，心想：“既然迟早都要死，不如在死前好好睡上一觉吧!”