2015函数与方程及函数应用.docVIP

函数和方程及函数应用 一、知识梳理 1．函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 3．函数零点的判断 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 4．二分法的定义 对于在[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．用二分法求函数f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)； ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1，(此时零点x0∈(a，x1))； ③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1，(此时零点x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 6．函数零点的性质： (1)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； (2)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． 7．函数零点的求法： 求函数y＝f(x)的零点： (1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点； (3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点)． 8．有关函数零点的重要结论： (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过零点时，函数值可能不变号； (4)函数f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0至多有n个零点． 二、常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 3．幂函数模型： y＝axn＋b，(a≠0) 2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长______的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有_______. (2)对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0) 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_______y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x＞x0时有___________. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有__________________________ (1)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； ②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学结论还原为实际问题的意义． (2)注意函数思想在其他知识的应用． 类型一 函数零点存在性的判断与方法 解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)?f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 类型二 二分法求方程的近似解 解题准备:1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过