第十讲：函数逼近概述.ppt

* 第五章 函数逼近 /* Approximation */ 用函数集合 V(x)中的简单函数g(x) 来近似代替一个复杂的已知函数或一个仅知道有限个函数值的函数f(x)，这就是函数逼近。 g(x) 称为逼近函数，f(x)称为被逼近函数。近似一般有两种衡量标准:(a) 均匀逼近或一致逼近;(b) 平方逼近或均方逼近. 一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项式（代数多项式或三角多项式）或有理分式函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。 §5.1 内积与正交多项式 / Inner Product Orthogonal Polynomial / 1.权函数 /* Weighting Function */ 设函数 是区间[a,b]上非负函数，如果 满足： 1） 存在， 2）对[a,b]上非负连续函数g(x) ，若 则必有当 时 ，则称 为[a,b]上的权函数。 2.内积 /* Inner Product */ 离散情形： 连续情形： 3.正交性 /* Orthogonality */ 内积具有如下性质： (4) 若 时， 。 (1) ； (3) ； (2) 对任意实数 有 ； 若 ，则称 与 正交。 离散情形：函数系 ，若有 则正交；若 ,则称 为标准正交系。 连续情形：函数系 ，若有 则正交；若 ,则称 为标准正交系。 若函数系 中 为 的 i次多项式函数时，则称此函数系为正交多项式系,记为 4.范数 /*Norm */ 离散情形： 连续情形： n次正交多项式系： ，其中 为 的不超过 i次的多项式。 范数具有如下性质： (2) 对任意实数 有 ； (3) ； (1) 当 时， ， 证明: (1) (2)的证明显然，下面仅给出（3）的证明。 因为 而 所以 Cauchy-Schwarz不等式 定理2 线性无关函数组所确定的Gram矩阵是实对称矩阵。 5. 正交多项式的性 性质1 （线性无关性）正交多项式系 中 任意m个函数 线性无关（非负 整数 互不相同）。 正交函数系线性无关的性质： 定理1 函数系 中函数 线性无关的充要条件为Gram矩阵 非奇异，即 。 性质2 表示所有次数不超过n 次的代数多项式集合， 则正交多项式函数 是 的 一组基，且对任何 ，有 性质3 正交多项式系 中的 在 区间(a,b)内有n个互不相同的根。 性质4 正交多项式系 中任何相邻三项之间