第六章二次型及其标准型概述.ppt

例6.3.4 判别二次型是否正定。 解法二 特征值法。二次型 对应的矩阵为 因此A的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。 例6.3.4 判别二次型是否正定。 解法三 顺序主子式法。 故该二次型正定。 例6.3.5 判别二次型f (x, y, z)为负定 解 二次型f (x, y, z)的矩阵为 顺序主子式分别为 由定理6.3.5的推论知二次型f (x, y, z)是负定的。 * * 第六章 二次型 § 6.1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵 定义6.1.1：含有 n 个变量 x1, x2, … , xn 的二次齐次多项式 当系数属于数域 F 时，称为数域 F 上的一个n元二次型.本章讨论实数域上的 n 元二次型，简称二次型. 令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是 其中 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ··· , xn)T A为对称矩阵，称A为二次型的矩阵，A 的秩为二次型的秩. 二次型和它的矩阵是互相唯一确定的.即有一个二次型就有唯一的对称矩阵 A；而对称矩阵A对应唯一的二次型. 例如，二次型 的矩阵是 A是一个对称矩阵. 反之，对称矩阵A 所对应的二次型为 设 是两个n元变量，则线性变换 代入 有 其中 ,因此 是以B 为矩阵的 y 的n元二次型. 如果 有下面的形状： 我们称为二次型的标准形. 易知， 6.2 化二次型为标准形 ● 用配方法化二次型为标准形 ● 用正交变换法化二次型为标准形 化二次型为标准形 定理6.2.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。 定理6.2.2 对任意一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆矩阵C，使得 CTAC=diag(d1, d2, ¨, dn) 方法一、用配方法把二次型为标准型 方法二、用正交变换法把二次型为标准型 用正交变换法化二次型为标准形 定理6.2.3 对于二次型 f (x)=XTAX，一定存在正交矩阵Q， 使得经过正交变换 X=QY 后能够把它化为标准形 其中 是二次型f (x)的矩阵A的全部特征值。 例1 用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换。 解 二次型的矩阵为 求得A的特征方程为 解得特征值为 例1 用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换。 解 求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵为 因此，作正交变换X=QY，就可以使二次型化为标准形 6.3 二次型与对称矩阵的正定性 定义6.3.1 具有对称矩阵A的二次型 f (x)=XTAX， 如果对于任何X=(x1, x2, ¨, xn)T≠0，都有 XTAX 0，(或 0) 成立，则称f (x)=XTAX为正定(负定)二次型，矩阵A称为正定矩阵(负定矩阵)。 如果对于任何X=(x1, x2, ¨, xn)T，都有 XTAX ≥0，(或≤ 0) 则称f (X)=XTAX为半正定(负定)二次型，矩阵A称为半正定 (半负定)矩阵。 且有 ，使 ， 二次型正定(负定)，半正定(半负定)，则它对应的矩阵为正定(负定)，半正定(半负定)；反之亦然。 定理6.3.1 设A为正定矩阵，如果A B，则B也是正定矩阵。 定理6.3.2 对角矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 定理6.3.3 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C，使得A=CTC，即A合同于单位矩阵。 推论6.3.1 n阶矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标p=n。 推论6.3.2 如果A为正定矩阵，则|A|0。 定理6.3.4 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值都是正数。 定义6.3.2 设n阶矩阵 称为A的k阶顺序主子式，即 例如， 的顺序主子式为 定理6.3.5 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于零，即 推论6.3.3 如果A是负定矩阵，则－A为正定矩阵。因此A为负定矩阵的充分必要条件是 正定矩阵的有关结论： 1.对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充要条件是A的所有主子式都大于(小于)或等于零。 2.对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充要条件是A的全部特征值都大于(小于)或等于零。 注意: 一个实对称矩阵的顺序主子式全大于零或等于零时，A未必是半正定的。 例如，三阶对称矩阵 的