63向量的线性相关性.ppt

6.3 向量的线性相关 6.3.1 线性组合与线性表示 6.3.2 线性相关与线性无关 例1 命题6.3.1 命题6.3.4 6.3.3 向量组等价 定理6.3.6 (替换定理） 6.3.4 向量组的极大线性无关组 例5 * * 一、内容分布 6.3.1 线性组合与线性表示 6.3.2 线性相关与线性无关 6.3.3 向量组等价 6.3.4 向量组的极大线性无关组 二、教学目的 1．准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别． 2．理解向量组的等价及极大无关组的概念． 3．掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法． 三、重点、难点 线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明． 定义1 设 是向量空间V的r个向量， 是数域F中任意r个数. 我们把和 叫做向量 的一个向量组合. 如果V 中某一向量?可以表示成向量 的线性组合，我们也说?可以由 线性表示. 零向量显然可以由任意一组向量 线性表示，因为 定义2 设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得 （1） 那么就说 线性相关. 如果不存在F中不全为零的数 使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当 时才成立，那么就说，向量 线性无关. 令F是任意一个数域。 中向量 ?1=（1,2,3），?2=（2,4,6），?3=（3,5,-4）线性相关。 例2 判断 的向量 ?1=（1,-2,3），?2=（2,1,0），?3=（1,-7,9）是否线性相关。 例3 在向量空间F [x]里，对于任意非负整数 n , 线性无关。 向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示. 命题6.3.2 如果向量?可以由 线性表示，而每一个又都可以由 线性表示，那么?可以由 线性表示. 命题6.3.3 如果向量组 线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组 有一部分向量线性相关,那么整个向量组 也线性相关. 设向量组 线性无关,而 线性相关.那么β一定可以由 线性表示. 定理 6.3.5 向量 线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合. 定义3 设 和 是向量空间V的两个向量组,如果每一个 都可以由 线性表示,而每一 也可以由 线性表示, 那么就说这两个向量组等价. 例4 向量组 ?1=(1,2,3), ?2=(1,0,2) 与向量组 β1=(3,4,8), β2=(2,2,5), β3=(0,2,1) 等价. 等价的概念显然具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价, 那么 与 等价. 设向量组 线性无关,并且每一 都  可以由向量组 线性表示,那么r≤s, 并且必要时可以对 中向量重新编号,使得用 替换后所得的向量 与  等价.