04随机变量的数字特征.ppt

概率论与数理统计 第4章 随机变量的数字特征 4.1 数 学 期 望 4.2 方 差 4.3 矩、协方差和相关系数 4.1 数 学 期 望 4.1.1 数学期望的概念 定义 (1)设离散型随机变量X的分布列为 若级数 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望(也称期望或均值)，记为EX。 (2)设连续型随机变量的概率密度函数为f(x)积分 绝对收敛，则定义的X数学期望EX为 4.1.1 数学期望的概念 例 设随机变量X服从两点分布，且 求EX。 解： 4.1.1 数学期望的概念 例 设X在区间[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为 求EX 解： 4.1.1 数学期望的概念 例 设X服从参数为 的指数分布，求 EX。 解：因为 所以 4.1.1 数学期望的概念 例 设随机变量X的概率密度为 求EX。 解: = 4.1.2 随机变量函数的数学期望 设随机变量Y为随机变量X的函数，即 。从上节的讨论可知，要求出Y的数学期望，只要求出Y的概率密度即可，但这个过程往往比较麻烦。我们有如下的定理，不用求出Y的概率密度，直接可求出。 4.1.2 随机变量函数的数学期望 定理1 设Y为随机变量X的函数 ，g(x)这里为连续的实值函数， (1) 若X为离散型随机变量，其概率分布为： 则 (2) 若X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则 4.1.2 随机变量函数的数学期望 例 设随机变量X的概率密度为 求 解：这里 ，于是 4.1.2 随机变量函数的数学期望 定理2 设Z为二维随机向量(X,Y)的函数 ，这里 为二元连续实函数，则 (1) 若为（X,Y）离散型，其联合分布律为 那么 (2) 若(X,Y)为连续型，其联合概率密度为f(x,y)，那么 4.1.3 数学期望的性质 在下列性质中，假设随机变量的数学期望总存在。 性质1 EX=C, C为常数。 性质2 E(CX)=CEX，C为常数。 性质3 E(X+Y)=EX+EY 。 性质4 设X,Y相互独立，则EXY=EXEY。 4.1.3 数学期望的性质 例 两台相同的电话交换机,每台无故障的工作时间服从参数为5的指数分布。先起用一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启。试求这两台交换机无故障工作总时间T的数学期望。 解：设第一，第二台交换机的无故障工作时间分别为 ，则 。 4.1.3 数学期望的性质 所以 ＝2/5 4.2 方 差 在第4章4.1节中讨论的数学期望的概念能反映随机变量的平均值，在一些实际问题中有时仅知道平均值是不够的。本节将引入方差的概念来反映随机变量对数学期望的离散程度。 定义 设X为一随机变量，若 存在，则称这个值为X的方差，记为DX，即 。又称 为的X标准差或均方差。 4.2 方 差 例 设X服从0-1分布,求DX。 解 所以 4.2 方 差 例 设X服从[a,b]上的均匀分布，求DX。 解：因为 ， ， 所以 4.2 方 差 例 设X服从参数为 指数分布，求DX。 解：因为 ， ， 所以 4.2.2 方差的性质 在下列性质中，假设随机变量的方差总存在。 性质1 设C为常数，则D(C)。 性质2 设C为常数，则 。 证明 性质3 设X,Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY。 4.3 矩、协方差和相关系数 4.3.1 矩 矩也是随机变量的重要数字特征，在数理统计中将要用到这个概念。定义 设X为一随机变量，若 存在，称它为X的K阶原点矩，记为 ；若 存在，称它为X的K阶中心矩，记为 4.3.2 协方差和相关系数 在本节中，将讨论二维随