06不等式复习课.ppt

不等式 小结 一. 本章主要内容： 1. 正确理解实数的不等及不等式的概念，熟练、系统地掌握不等式的性质，它是证明不等式及解不等式的依据. 不等式最基本的性质有： ① a b ? b a; ② a b, b c ? a c ; ③ a b ? a + c b + c ; ④ a b, c 0 ? ac bc; a b, c 0 ? ac bc ; ⑤ | |a|－|b| | |a ? b| |a| + |b| . 2. 不等式证明的主要依据： a－b 0 ? a b ; a－b 0 ? a b (它反映了实数的大小顺序与运算性质的等价关系)以及不等式的性质. 在证明不等式时，有时还要应用到某些重要的基本不等式：a2 0 ; (a－b)2 0; a2 + b2 2ab ; (a, b ? R?); a3 + b3 + c3 3abc (a, b, c ? R?); (a, b, c ? R?) 常用的方法有：比较法、综合法、分析法、… 在证明过程中，常利用不等式关系的传递性，对所要证明的不等式进行合理恰当的放缩. 3. 正确进行同解变形是解不等式的关键. 因此，必须正确应用不等式的性质及有关函数的性质. 要善于应用数形结合的方法，注意解方程与解不等式的联系与区别，搞清不等式与函数的关系. 二. 学习要求： 1. 掌握不等式的性质及其证明. 2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用. 3. 掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式. 4. 理解含绝对值符号的不等式的性质. 5. 掌握某些简单不等式的解法. 6. 注意将不等式的学习与以前所学习过的方程、函数等内容加以联系，以便对不等式知识有较完整的认识. 三. 例题： 例1 已知a b 0，下列不等式中恒成立的是 ( ) (A) a2 b2 (B) 1 (C) (D) 例3 若x 0, y 0, x ? y，则下列四个数： , ( + ), , . 其中最小的一个是__________. 例4 设a 0, a ? 1, t 0，试比较 logat与loga 的大小. 例16 已知x , y? R?, 且x + 2y = 3，求 + 的最小值. * 例2 若x, y ? R，且xy 0，则下列不等式中不正确的是 ( ) (A) |x + y | x－y (B) |x + y| 2 (C) |x + y| |x| + |y| (D) + 2 例5 证明： a2 + b2 + c2 + 4 ab + 3b + 2c . 说明（1）此题应用了放缩法，即在证明不等式时，常需要舍去或增加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等的传递性，达到证题的目的； （2）其常使用的形式有：舍去或加上一项，如t2+2t2；分子分母的放大，如(1/k2)[1/k(k-1)]；利用函数的单调性放缩，如lgx2lg(x2+1)；利用已知基本不等式，如均值不等式 关于绝对值运算的相关性质： （1）|ab|=|a||b|；|a/b|=|a|/|b|； （2）|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|； （3） |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|； 例14 已知x2 + y2 ≤1，求证：|x2 +2xy -y2| . 例15 已知 , 求 y=x2(1-5x) 的最大值.