07第七讲___拉氏变换傅氏变换与Z变换.ppt

（2） 解法一： 系统的频率响应为 由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入x(n)=ejπn时，应用公式（1-125），可得输出响应为 解法二： 2.10.4 频率响应的几何确定法 * 第七讲 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系 序列的付里叶变换 离散系统的系统函数及频率响应 2.5 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系 图 1-34 S平面与Z平面多值映射关系 s=σ+jΩ z=re jω r=eσT ω=ΩT 2.5.1 拉普拉斯变换与序列的Z变换 左——单位圆内 右——单位圆外 虚轴——单位圆 2.5.2 连续信号的傅氏变换与序列的Z变换 采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换 （频谱）。 2.5.3 序列的傅氏变换与Z变换 数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值. 单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换 数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。 因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ejω代替z，得到序列傅里叶变换的定义为 序列的傅里叶反变换公式 其收敛条件为 2.6 序列的傅氏变换 图1-35 序列及其傅里叶变换 表2-3 序列傅里叶变换的主要性质 表2-3 序列傅里叶变换的主要性质 表2-4 傅里叶变换对 2.10 离散时间系统的频域分析（ω域和Z域） 在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为 对等式两端取Z变换，得 则 H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换，即 在单位圆上(z=ejω)的系统函数就是系统的频率响应H(ejω)。 因果系统 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因果系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域，即 稳定系统 一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件，即 而Z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ejω)存在。 因果稳定系统 因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛，即 也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。 2.10.2 系统函数和差分方程的关系 一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示， 其N阶常系数线性差分方程的一般形式为 若系统起始状态为零，可以直接对上式两端取Z变换， 利用Z变换的线性特性和移位特性可得 系统函数为 系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。将其分别进行因式分解，可得 z=ck是H(z)的零点 z=dk是H(z)的极点 例 2-23 已知系统函数为 2|z|≤∞ 求系统的单位脉冲响应及系统性质。  解 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。 从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。 由于2nu(n)项是发散的， 可见系统确实是不稳定的。 例 2-24 系统函数不变， 但收敛域不同。 求系统的单位脉冲响应及系统性质。  解 收敛域包括单位圆但不包括∞点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得 由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。 2.10.3 系统频率响应的意义 对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列： x(n)=ejωn  -∞n∞ 线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为 式中: 因此y(n)=ejωnH(ejω) 上式表明，当线性时不变系统输入是频率为ω的复正弦序列时，输出为同频复正弦序列乘以加权函数H(ejω)。显然，H(e jω)描述了复正弦序列通过线性时不变系统后，幅度和相位随频率ω的变化。换句话说，系统对复正弦序列的响应完全由H(e jω)决定。故称H(ejω)为线性时不变系统的频率响应。线性时不变系统的频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换。 线性时不变系统的频率响应H(ejω)