08分析动力学7非完整系统.ppt

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 分析动力学之非完整系统 本节内容 问题1：对于刚体定点转动问题，如果用第二类拉氏方程求解，动能： 问题2：非完整系统广义坐标不独立？ 内容1：非完整约束的例子 内容2：准速度和准坐标 问题3：拉氏方程中的求导复杂 内容3： Appell方程 非完整系统-例1：带横纹的小轮 X Y ? 纯滚动。小轮半径R，轮心的位置为(x,y)，小轮绕自身轴的转角为?。 O2 O1 (x,y) 轮与地面的接触点轴向的速度为0： 与理力中的纯滚动的不同？ X Z O Y ?2 ?1 O2 O1 B A (x,y,0) (x,y,R) ? 车轮半径R，连轴(O1O2)长2a，轮与地面的接触点位A和B。 A和B的坐标： X Y ? 轮A在周向和轴向的速度为0： 描述系统位形的参数个数：5 非完整系统-例2：两轮小车 X Y ? 轮B在周向和轴向的速度为0： 整理： 描述系统位形的参数个数：4 非完整系统-例2：两轮小车 非完整系统-例2：两轮小车 X Z O Y ?2 ?1 O2 O1 B A (x,y,0) (x,y,R) ? 系统自由度数：2 非完整系统-例3：粗糙平面上滚动的圆球 1.自由运动为6个自由度； 2.在平面上运动，1个完整约束； 3.纯滚动，球与平面的接触点速度为0，2个非完整约束 4.圆球的广义坐标数5，自由度数3； 非完整系统-例4：自动控制问题 引入球坐标： 质量为m的质点，受速度大小为常数的约束，在牛顿中心引力场中运动； 速度的平方： 卫星的运动。 非完整系统-例5：Bottema圆盘 系统角动量守恒： 是否是真正的约束。 约束的嵌入问题 1895年荷兰学者Lindel?f利用非完整约束方程消去方程中的非独立的广义速度，代入拉氏方程求解。 O x y v ? C 利用约束消去 ： 代入拉氏方程： 结果： Lindel?f错误：非完整系统不能使用第二类拉氏方程。 准速度和准坐标 对于刚体定点转动： 广义坐标 广义速度 准速度 定义准坐标满足： 准坐标已不具有物理意义； 准速度与广义速度的变换关系为广义坐标的函数。 准速度和准坐标 O x y v ? C 约束方程： 广义坐标： 广义速度： 广义坐标和广义速度不独立，无法直接利用第二类拉氏方程 定义准速度： 显然准速度为独立变量 准速度与广义速度的变换关系为广义坐标的函数； 准坐标具有物理意义。 对于非完整约束： 准速度和准坐标 设在由N个质点组成的系统上作用有r个完整约束和s个非完整约束，选择l=3N-r个广义坐标qj描述系统的位形，限制广义速度的约束方程为： 构造f=l-s个广义速度的线性组合，并要求其相互独立： 其中的fvj为广义坐标q和时间的函数， uv具有速度的量纲，称为准速度。 相应的准坐标定义为： 也可反解出： Appell方程的推导 虚功率原理： 虚功率原理的广义坐标形式 虚功率原理可改写为： 将广义速度的变分改写为准速度的变分： 外力项 为对应于准速度的广义主动力。 惯性力项