08级高数II总复习.ppt

二重积分 二重积分 二、二重积分在极坐标下的计算 一、二重积分在直角坐标下的计算 (3) 特征方程有一对共轭复根 微分方程 的通解为 例1： 求方程 的通解。 解: 所给微分方程的特征方程为 求出特征根 因此，原方程的通解为 P335 例2： 求方程 满足初始条件 解: 所给微分方程的特征方程为 求出特征根 因此，原方程的通解为 的特解。 由初始条件 可得 故，原方程的特解为 例3： 求方程 的通解。 解: 所给微分方程的特征方程为 求出特征根 因此，原方程的通解为 P340——1-2 练习： 多元函数的微分学 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 一、二元(多元)函数的偏导数 三、二元(多元)函数的复合函数和隐函数 的求导问题 四、二元(多元)函数的极值问题(无条件极 值和条件极限) 二、二元(多元)函数的全微分 五、利用极值研究最值应用问题 一、二元函数的偏导数 对二元初等函数求关于某一个自变量的偏 再根据一元函数的求导公式和求导法则， 求导即可。 导数时，只需视另外一个变量为常量， 63-65 例如 求 在点 处的偏导数。 法一： 65 法二： P69——4 练习： 二、 二元函数的全微分 70 例如 求函数 在点 的全微分。 法一： 法二： 73 P76——2 练习： 三、复合函数和隐函数的导数： (1) 1. 复合函数的导数： 自变量 中间变量 P76-78 有 全导数 自变量 中间变量 (2) (3) 有 自变量 中间变量 (4) 设函数 是可微的函数， 求证 例如 P79 例如 设 ， 可微，证明： 证： 令 证毕。 P83——9,10 练习： 2. 隐函数的导数： 求二元隐函数的导数有二种方法： ——二元函数的情况 1) 公式法： 设方程 确定二元函数 85 2) 直接法： 直接对 两边求对 偏 导数，即 解出 求 ，方法同上。 例如 设 具有连续偏导数，证明由方程 所确定的隐函数 满足 证： 令 85 P89——7 练习： 定理 (极值存在的充分条件 ) 内有连续的二阶偏导数，且 如果函数 在点 的某一邻域 令 四、二元函数的极值(无条件极值和条件极值) 1. 无条件极值 (1) 时具有极值， 且当 时有极大值， 当 时有极小值， (2) 时具有无极值， (3) 时可能有极值，也可能没有 极值，还需另作讨论。 则 在 处是否取得极值的条件如下： P109-111 例如 求函数 的极值。 解： 求得驻点 再求二阶偏导数 在点 处 函数在点 处无极值. 在点 处 函数在点 处有极值， 又 函数在点 处有极大值: P111 P118——2,3,4 练习： 2.条件极值 ——Lagrange乘数法 求 在区域 上满足条件 的极值。 P113-117 Lagrange乘数法的一般步骤： 第一步 构造Lagrange函数 第二步 求其对 的偏导数，并使之为0， 由这两个方程与 联立，即 第三步 判别 是否是极值点。 (在实际问题中可根据问题的性质来判定) 消去 ，解出 。 五、利用极值研究最值应用问题举例 2)、多元函数的情况 如果函数 的最值只在内部点上 取到，而函数在 内只有一个驻点，则可 断定函数在此驻点上取到最值。 解决条件极值的方法 ：有两种 利用条件，把条件极值化为无条件极值。 1 条件极值 ——Lagrange乘数法 2 例如 某工厂生产两种产品I和II，出售单价分别 为10元与9元，生产 单位的产品I与生产 单位 的产品II产总成本是： 求满足两种产品数量总和为200时最大利润， 解： (元) 及取得最大利润时生产 和 是多少? 设 表示总利润， 构造拉格朗日函数 解得 根据问题的性质，可知 就是最大值 点，