线性代数 6.1特征值与特征向量.ppt

一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 第6章 矩阵相似对角化 6.4 实对称矩阵的对角化 6.2 相似矩阵与矩阵的对角化 6.3 向量空间的正交性 6.1 特征值与特征向量 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的定义 6.1.2 特征值与特征向量的性质 这一章主要讨论：对一个 ，如何求 一个可逆的 具有尽可能简 单的形式。即矩阵相似化简的问题，这是在矩 阵理论和工程技术等方面都有广泛应用的一个 问题。 说明： 1.特征值针对方阵有意义，特征向量是非零向量； 2.一个特征值对应着无穷多个特征向量(不唯一)； 3.一个向量最多是一个特征值的特征向量。 6.1.1 特征值与特征向量的定义 定义6.1 设A是n阶矩阵，如果存在数?及非零列向量?，使得A?=??， 则称?是矩阵A的一个特征值，?称为A的属于特征值?的特征向量。 例如 设 ，由于 ，故 任取 ，有 由定义1，数3是 的特征值，任意一个三维非零向量都是 的对应特征值3的特征向量。 满足A=kIn的矩阵A称为数量矩阵。 例 6.2 设n阶矩阵A满足A2 =A 证明A的特征值为1或0。 证明 设A 的特征值为?，则存在非零向量? ,使A?=??,故??=A?= A2?=A(A?)=?A?=?2? , 故(?2-?)?=0,由??0，故?2-?=0，即?=0或者?=1. 对一般的方阵A而言，Ax=?x 是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不容易直接看出它的特征值和特征向量。为此，将定义中的A?=??变形为： (?I-A)?=0 则上述齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数行列式为零，即 特征值和特征向量的计算 若A是一个n阶不可逆矩阵，则线性方程组Ax=0 有非零解x0 。 故不可逆矩阵必有零特征值 。 记 称 的特征多项式。 称为矩阵A的特征方程 定理6.1 设 是 阶矩阵，则 （1） 为 的一个特征值当且仅当 是 的特征多项式 的一个根； （2） 为 的属于特征值 的一个特征向量当且仅当 为齐次线性方程组