材料力學第6章扭转.doc

圆轴的扭转 6.1 扭转的概念 扭转是杆件变形的一种基本形式。在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。 图6—1 图6—2 图6—3 这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。以扭转变形为主的直杆件称为轴。若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。 图6—4 6.2 扭矩和扭矩图 6.2.1 外力偶矩 作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。它们的关系式为 （6-1） 其中：M——外力偶矩（N·m ）; ——轴所传递的功率（KW）； ——轴的转速（r／min）。 外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。 6.2.2 扭矩 圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用表示。扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m或kN·m。 当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。如图6-5（a）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为的外力偶作用。为求杆任一截面m-m的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b）中所示的左端。由平衡条件 可得 图6—5 注意，在上面的计算中，我们是以杆的左段位脱离体。如果改以杆的右端为脱离体，则在同一横截面上所求得的扭矩与上面求得的扭矩在数值上完全相同，但转向却恰恰相反。为了使从左段杆和右段杆求得的扭矩不仅有相同的数值而且有相同的正负号，我们对扭矩的正负号根据杆的变形情况作如下规定：把扭矩当矢量，即用右手的四指表示扭矩的旋转方向，则右手的大拇指所表示的方向即为扭矩的矢量方向。如果扭矩的矢量方向和截面外向法线的方向相同，则扭矩为正扭矩，否则为负扭矩。这种用右手确定扭矩正负号的方法叫做右手螺旋法则。如图6-6所示。 按照这一规定，园轴上同一截面的扭矩（左与右）便具有相同的正负号。应用截面法求扭矩时，一般都采用设正法，即先假设截面上的扭矩为正，若计算所得的符号为负号则说明扭矩转向与假设方向相反。 当一根轴同时受到三个或三个以上外力偶矩作用时，其各 图6-6 扭矩正负号规定 段横断面上的扭矩须分段应用截面法计算。 6.2.3 扭矩图 为了形象地表达扭矩沿杆长的变化情况和找出杆上最大扭矩所在的横截面，我们通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形。此图称为扭矩图。绘制扭矩图时，先按照选定的比例尺，以受扭杆横截面沿杆轴线的位置为横坐标，以横截面上的扭矩为纵坐标，建立—直角坐标系。然后将各段截面上的扭矩画在—坐标系中。绘图时一般规定将正号的扭矩画在横坐标轴的上侧，将负号的扭矩画在横坐标轴的下侧。 例6-1 传递功率的等截面圆轴转速=120rpm，轴上各有一个功率输入轮和输出轮。已知该轴承受的扭矩N·m， 求：轴所传递的功率数。 解： 因为等截面圆轴上只有两个外力偶作用，且大小相等、方向相反（输入和输出功率相等），故轴所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即 M==1450 N·m 根据（6-1）式， 由此求得轴所传递的功率为 kN 例6-2 传动轴