東北大学线性代数书后答案第二章矩阵.doc

第二章 矩 阵 教学基本要求： 理解矩阵的概念. 了解基本矩阵（单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵等）及其基本性质. 掌握矩阵的各种运算（加法、数乘、乘法和转置运算）及其运算规律. 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件. 了解分块矩阵的概念. 了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法. 了解矩阵等价的概念. 理解矩阵秩的概念，掌握求秩的方法. 线性代数是“矩阵”的代数，矩阵有着广泛的应用. 一、矩阵的概念及其运算 1. 矩阵的概念 长方形数表：称为矩阵，常记作或或等. 行数相同、列数也相同的矩阵称为同型矩阵. 元素全是实数的矩阵称为实矩阵.以下只讨论实矩阵. 2. 基本矩阵 行矩阵——只有一行的矩阵，即. 列矩阵——只有一列的矩阵，即. 零矩阵——元素皆为零的矩阵，即. 负矩阵——. n阶矩阵(n阶方阵)——行数与列数相等的矩阵，简记作或. 3. 矩阵运算及运算规律 (1)相等 (2)加法(减法) 设，则 (). 运算规律：； (交换律）； ； (结合律) (零矩阵的加法作用) (3)数乘 设，则. 运算规律：； (分配律) (4)乘法 设，则，其中. 运算规律： （结合律） （结合律） （左分配律） （右分配律） （单位矩阵的乘法作用） (零矩阵的乘法作用) 其中与皆为正整数. (方阵的幂) 注意：乘法没有交换律、幂零律和消去律. 例如，； ； . (5)转置 ，. A为对称矩阵，即A=AT；A为反对称矩阵，即A=-AT. 运算性质：， ， ， . 4. 矩阵应用 设. (1)矩阵表示线性映射 . (2)矩阵表示线性方程组 . 二、逆矩阵(P36) 逆矩阵在矩阵理论和应用中起着重要作用. 1. 方阵的行列式(P36) 设，则行列式称为A的行列式，记作detA或. 运算性质：设A,B均为n阶方阵，则 ， ， .(证明见第一章例1.7) 例2.1 (1)设，计算. (2)设为3阶矩阵，且，求. (3)设四阶矩阵，且|A|=2, |B| =3，求|A +B|. 例2.2 设矩阵，矩阵满足，求. 2. 伴随矩阵(P37) 由方阵的行列式的每一个元素的代数余子式构成的矩阵 称为的伴随矩阵，记作. 事实上， . 运算性质：， ， ， ， ， . 例2.3 (1)设，求. (2)设，求. 解 总结：. 3. 逆矩阵 设A为n阶方阵，若存在矩阵B使AB=BA=E，则称矩阵A是可逆矩阵(或可逆的)，称为的逆矩阵，记为(读作的逆)；否则，称是不可逆矩阵(或不可逆的). 可逆矩阵又叫非奇异矩阵，不可逆矩阵又叫奇异矩阵. 性质：(1)逆矩阵是惟一的. (2)矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0.且当detA≠0时，A-1=(1/detA) A*. 推论 设A是方阵，若存在矩阵B使AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B. (3)若可逆，数，则皆可逆，且 ，，， ，. 规定：若A可逆，则A0 =E，A-k=( A-1) k=(A k) -1，k为整数. 4. 矩阵可逆的判定 (1)矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0. (2)矩阵A可逆的充分必要条件是存在矩阵B使AB=E（或BA=E）. 5. 逆矩阵的计算 (1)伴随矩阵法 当detA≠0时，A-1=(1/detA) A*. (2)初等行变换法 (A | B) → (E | A-1). (原理见下面的四) (3)定义法 令AX=E，求出X，即为A-1. 例2.4 . 例2.5(例2.7 P38) 设矩阵满足，证明矩阵可逆. 证 因为，所以，.故可逆，且. 以后还会陆续给出新的判定矩阵可逆的条件，并给出计算逆矩阵的常用方法——初等变换法. 三、分块矩阵 1. 定义 用横线与竖线将矩阵分成若干“小矩阵”块，称为子块或子矩阵，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 2. 分块矩阵的运算 相等、加法、数乘、乘法、转置、逆. 注意：(1)做分块矩阵相等和加法运算，要求矩阵同型且分块形式相同； (2)做分块矩阵乘法运算时，前面矩阵的列数不仅要与后面矩阵的行数相等，且前面矩阵的列块分法要与后面矩阵的行块分法相同； (3)分块矩阵的转置运算须进行“两转”. (4)用拟矩阵定义求分块矩阵的逆. 3. 分块对角矩阵 对角线上的子块均是方阵，而其它子块皆为零矩阵的分块矩阵称为分块对角阵.即 (其中是方阵). 运算性质： (1) ； (2) 若，则 . (3) 设 是分块完全一致的分块对角阵，则 . 四、矩阵的