概率與数理统计,第二章.doc

第一讲 Ⅰ 授课题目 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 Ⅱ 教学目的与要求 1、深刻理解随机变量的意义，熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果； 2、离散型随机变量的分布律及其表示； 3、熟记两点分布、二项分布、泊松分布的分布律或密度函数及性质。 教学方法：发现式为主，讲授式为辅，讲练案结合 Ⅲ 教学重点与难点 重点：掌握离散型随机变量及其分布律，如何用分布律求任何事件的概率。 难点：随机变量的概念及离散型随机变量的分布。 Ⅳ 讲授内容： 引言 在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布. 二、§1 随机变量 1、随机变量概念的引入 为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来. 1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之. 例1 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面、反面出现情况的试验中, 其样本空间 记每次试验出现正面的总次数为随机变量, 则作为样本空间上的函数定义为 例2在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为 {正面, 反面}, 记赢钱数为随机变量, 则作为样本空间的实值函数定义为 例3 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数, 若用表示灯泡的寿命（小时），则是定义在样本空间上的函数，即，是随机变量. 2、随机变量的定义 定义 设随机试验的样本空间为, 是定义在样本空间上的实值单值函数，称为随机变量. 随机变量与高等数学中函数的比较: (1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值; (2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.如 例1中易见, 使取值为的样本点构成的子集为 故 类似地，有 3、引入随机变量的意义 随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来. 由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究. 随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量. 三、 §2 离散型随机变量及其分布律 1、离散型随机变量及其概率分布 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。 定义 设离散型随机变量的所有可能取值为, 取各个可能值得概率，即事件称的概率，为 （2.1） 由概率的定义，满足如下两个条件： 1）； 2）（分布列的性质） 称（2.1）式为离散型随机变量为的概率分布或分布律, 也称概率函数. 常用表格形式来表示的概率分布: 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求的分布律。 例2（加）：有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以表示取到次品的件数，求X的分布列. 解：随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{}(k=0,1,2,3)的概率，得的概率分布为 或 X 0 1 2 3 p 0.6624 0.3011 0.0354 0.0011 2、常用离散分布 退化分布 两点分布 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 一个随机变量X以概率1取某一常数，即，则称X服从点a处的退化分