概率與数理统计习题答案第二章.doc

第二章 离散型随机变量 2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1) (2) (3) (4) 解 （1）是 （2），所以它不是随机变量的分布列。 （3）,所以它不是随机变量的分布列。 （4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。 2.2 设随机变量的分布列为：，求(1); (2) ； (3) 。 解 (1) ; (2) ; (3) . 2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。 解 ，所以。 2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。 解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。 2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。 解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为： 2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。 解 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的最大号码，求的分布列。 解 2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。 解，其中。 2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。 解 设，表示第二名队员的投篮次数，则 +； 。 2.10 设随机变量服从泊松分布，且，求。 解。由于得（不合要求）。所以。 2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查泊松分布的数值表，得。 2.12 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的泊松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设为时间内通过交叉路口的汽车数，则 时，，所以；时，，因而 。 2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。 解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为 利用泊松定理求近似值，取，于是上式右端等于 2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？ 解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使 ， 利用泊松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查泊松分布数值表，得。 2.15 设二维随机变量的联合分布列为： 求边际分布列。 解 。 2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、、，求的联合分布列与各自的边际分布列。 解 ， ，； ，； ，。 2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。 解 2.21 设随机变量与独立，且， 又，定义，问取什么值时与独立？ 解= 而，由得 2.22 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。 证明 因为 所以相互独立。同理与相互独立。 但是，因而不相互独立。 2.23设随机变量与独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。） 证明 设。 若，则 将（2）式减去（1）式，得：，于是。同理。因此，与（3）式矛盾。 2.24 已知随机变量的分布列为，求与的分布列。 解 分布列为，，； 的分布列为，，。 2.25 已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。 解 , , , 2.26 设s离散型随机变量的分布列为： ， ：，且相互独立，求的分布列。 解 2.27 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。 解 设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而 。 2.28 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 求的分布列。 解 2.29