量子力学_12.1Fermi气体模型.pptx

第 12 章其他近似方法（1）12.1 Fermi气体模型Fermi气体模型：金属中的导电电子可以近似为限制在金属体内部自由运动的电子气.考虑边长为L的方块金属，电子能级为式中（nx,ny,nz）对应于三维空间任一象限中的一个格点.从原点引向此点的距离为n，且考虑到电子自旋，每一个格点对应有两个电子态，在 范围内容纳的电子数为当，以原点为球心，半径在(n,n+dn)范围内的球壳在第一象限中的体积为（2）因此，式（1）改写为完全简并的Fermi 分布： 的能级是空的，而 的能级都被电子占据的分布.（4）（3）电子气按能量分布的态密度为每个能态被电子占据的概率讨论：wEf 与电子总数N的关系：10.50EEf1 )实线：极低温下的理想分布；2 )虚线：室温下的分布即（7）（6）（8）（5）令Fermi 动量则电子气的空间分布密度（10）因此（9）利用式（4），可以求出完全简并气体中电子的平均能量例1 金属银块,质量密度为10.5g/cm3,银原子质量为1.80 每个银原子有一个导电电子,所以电子气的空间密度 代入式(8),可求出 注意:在常温( )下 , 热运动导致的电子气的所以能态分布与完全简并Fermi气体的差别很小,如图12.1的虚线所示.电子气压强的估计.设外界对电子气作功 电子气的体积缩小,则电子气压强p定义为(11)此时,电子气的内能增加,因此(12)对于完全简并Fermi气体利用式(8)(注意),有即(14)因此,电子气的压强为对于银块,用前面求出的 和 代入, 可得出 12.2 变分法12.2.1 能量本征方程与变分原理能量本征方程 设量子体系的Hamilton 量为H，则体系的能量本征值可以在一定条件下求解能量本征方程（1）并满足归一化条件（2）而得出.可以证明上述原则与变分原理等价.则体系的能量本征值和本征函数可在条件(2)下让取 极值得到，即 （4）（3）（5）设体系的能量平均值表示为将式（3）代入式（4），并利用H的厄米性，得 定理 按变分原理求出的 不小于体系基态能量的严格值.由于 与 都是任意的，因此要求（6）此即能量本征方程.变分原理与能量本征方程等价，其价值在于：根据具体问题在物理上的特点，先对能量本征函数做某种限制，然后给出试探波函数下的能量平均值，并让其取极值定出最佳的能量本征函数.（7）（8）证明：设体系的包括H在内的一组守恒量完全集的共同本征态为 相应的能量本征值为任意试探波函数总可以展开为即 它说明用变分法求出的能量平均值 作为试探波函数 的泛函,不管 如何选取,总是不小于基态能量的严格值,即给出了体系基态能量的一个上限.应该提到,用变分法计算出的能量与严格值的偏差,相对于试探波函数本身与严格波函数的偏差,是二级小,所以能级计算相对来说比较准确.例如,对于基态,试探波函数为 为严格基态解.正交,只差一个归一化因子.因此为待定参数，此时（9）（10） 12.2.2Ritz变分法基本思想: 设体系的基态试探波函数取为 按变分原理，取 即（11）要求（12）此即参数ci 满足的方程组，解之，得ci ，代入，即可得到体系的基态波函数和能量.例类氢离子的基态波函数在10.1节例1中曾用微扰论计算过类氢离子的基态能量.零级近似波函数的空间部分取为两个类氢原子波函数的乘积考虑到两个电子同处于1s轨道,除了感受原子核的Coulomb引力之外,每个电子还要受到另一个电子的Coulomb斥力,它部分抵消了原子核的Coulomb引力.这称之为屏蔽效应.因此,不妨把试探波函数取为(13)式中 表示有效电荷,是刻画屏蔽效应大小的参数.若 .则表示无屏蔽. 满足方程(14)此即一个1s电子在一个有效电荷为 的原子核的 Coulomb引力场中的能量本征方程.利用式(13)和(14)可计算(15)经计算,得(16)所以从而得出(17)代入式(16),所得,即基态能量(18)对于类氦离子,当剥掉一个电子后,剩下的一个电子仍处于1s轨道.按类氢原子能量公式,它的能量为因此,按变分法的计算结果,类氦离子的电离能为(19)而按微扰论一级近似计算结果(20)（21）（22）（23）12.2.3Hatree自洽场方法物理根据：在原子中，电子受到原子核及其他电子的作用，可近似用一个平均场来代替.原子