量化群论终极版.docx

第七章 群 论§1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律相互联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果仍然是G中的元素。如A属于G： B属于G：则有 (7.1-1)“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。一个数学群必须首先定义一种乘法。缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。如 A B C = A ( B C ) = ( A B ) C (7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与那两个元素先乘无关。单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即 (7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘，等于单位元素E，即 (7.1-4)称A-1为A的逆元素。逆元素可以是该元素本身。下面我们举几个群的例子（1）G = {1, -1, i, -i} 对普通乘法而言，构成一个群。封闭性：1 × (-1) = -1(-1) × (-1) = 1i × i = -1i × (-i) = 1 等。缔合性：1 × i × (-1) = (1 × i ) × (-1) =i × (-1) = -i1 × i × (-1) = 1 × [ i × (-1) ] = 1 × (-i) = -i 等。单位元素：1逆元素：i (-i) = 1(-1) (-1) = 11 × 1 = 1群中元素的数目称为群的“阶”，用h表示，本例中h = 4。（2） G = {所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。满足封闭性和缔合性是显然的。1是单位元素。任一实数m的逆元素为。（3）G = {0,±1, ±2, ±3……± n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，称为整数加群。此例中“乘”的意思是加。1+2=3封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n显然例(2)(3)中群元素的数目h为无穷大，故称为无限群，例(1)则是有限群。（4）G = {E、I } ( Ci )这个群（称为Ci）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。把E和I作用到任意函数上，结果为： 如果对先用E作用，再用I作用：,因为是任意函数，故（可见，在这里“乘”的意思就是指连续作用）。同理，EI = I; II = E; EE = E。可以把以上结果归纳为乘积表（或称乘法表），乘法表中共有n2个元素：可见封闭性满足。I E I = ( I E ) I = I I = EI E I = I ( E I ) = I I = E可见缔合性满足。单位元素是E，E的逆元素是E，I的逆元素是I。（5） H2O分子（C2v）图7-1 水分子我们选z轴通过氧原子并平分氢原子之间的连线。于是整个水分子在yz平面上，有一个对称面，为xz平面，与此相联系，存在一个镜面反映动作，亦用表示。另一个对称面，为yz平面，与此相联系的操作是。有一个对称轴，就是z轴，即分子绕z轴转动180°复原，此对称操作亦用C2表示。还有一个对称操作是E：不动。因此，这个点群包含四个对称操作： G = {,，， }称为C2v。应当区别对称操作和对称元素这两个概念，对称操作是一种动作，通过这种动作可使物体(包括分子)或图形复原，对称操作所赖以进行的几何要素(点、线、面) 称为对称元素，如一个分子(如本例中的H2O分子)能沿某一轴（如本例中的z轴）旋转180o，转动后所得分子和原来完全一样(复原)，则称这个分子有二重轴。在群论中二重轴和旋转180o这个动作都用同一个符号C2表示，而群元素则是对称操作。群元素为对称操作的群称为对称群（Symmetry group），亦称为点群（Point group），因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义：因为所有对称元素至少在一个点相交。其乘积表为：乘积表中第一行，第一列，及对角线元素(如c2c2 = E等)易知，等可这样得到：任选一个点1，先作用得2，再作用得3，通过的作用可直接由1→3，可见封闭性满足。 可见缔合性满足。每个元素的逆元素也可以从乘积表得到，如 单位元素是E。h = 4上面讨论的五个例子，对群元素的乘法而