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随机过程与排队论16
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 计算机科学与工程学院 顾小丰 注 在c≤K时,若c固定,当K充分大时,可近似 地看成无限总体的系统,具有到达率为m?,可用M/M/c/?型系统的有关结果作近似计算反而简单,因为当K→?时,若m?/?<1,则可化为M/M/c/?型系统的有关结果;在当c>K时,若K=0(即无备用机器),则可化为M/M/c/m/m型系统的有关结果。 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 例 某航空公司要保证正常的运营,应保证有12 台发动机处于良好状态的概率不低于0.995,设每台发动机正常运转时间服从负指数分布,平均连续运转时间为3个月,有2个维修工负责其修理工作,修理时间也服从负指数分布,平均修复时间为5天,问:在满足要求的前提下,应该备用多少台发动机? 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 解 由题设知,m=12(台),c=2(个),?=1/3 (台/月), ?=6(台/月),?=1/18,要保证使得同时有12台发动机处于良好状态的概率不低于0.995,则等价于故障的发动机不超过备用发动机数的概率不低于0.995,于是 当备用机器数K=2(?c)时,有 当备用机器数K=3(c)时,有 所以,应取备用发动机台数K=3。 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 §6.4 二阶段循环排队系统 问题的叙述 n辆卡车担任运输任务,在生产厂与仓库(或车站、码头等)之间来回运输。 把生产厂叫做Ⅰ号服务台,仓库叫做Ⅱ号服务台,把从Ⅱ号到Ⅰ号之间的路途时间及在Ⅱ号台的实际服务时间之和看作“Ⅱ号台的服务时间”;把从Ⅰ号到Ⅱ号之间的路途时间及在Ⅰ号台的实际服务时间之和看作“Ⅰ号台的服务时间”;Ⅰ、Ⅱ两个服务台的服务时间分别服从参数为?1、?2的负指数分布;工作相互独立。 n辆卡车在Ⅰ、Ⅱ号台之间轮番排队,若在Ⅰ号台的车辆(包括正在接受服务的)为i辆,则在Ⅱ号台的车辆为n-i辆,用(i,n-i)表示系统所处的状态。 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 二阶段循环排队模型 ?1 ?2 队长i 队长n-i 由于二阶段循环排队系统的状态完全由Ⅰ号台的状态决定,因此,我们仅讨论Ⅰ号台的情况。 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 2. Ⅰ号台的队长 假定N(t)表示时刻t在Ⅰ号台的车辆,包括正在接受 服务的车辆,令 pij(?t)=P{N(t+?t)=j|N(t)=i},i,j=0,1,2,… 则 1)pi,i-1(?t)= pn,n-1(?t)= P{在?t内Ⅰ号台服务完1辆, Ⅱ号台一辆也没服务完} P{在?t内Ⅰ号台服务完1辆} 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 Ⅰ号台的队长(续1) pi,i+1(?t)= p0,1(?t)= 类似分析可得 pij(?t)=o(?t), |i-j|?2 P{在?t内Ⅱ号台服务完1辆, Ⅰ号台一辆也没服务完} P{在?t内Ⅱ号台服务完1辆} 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 Ⅰ号台的队长(续2) 综合上述1)2)3)得 于是,{N(t),t?0}是有限状态空间E={0,1,2,…,n}上的生灭过程,其参数为 状态转移速度图 0 1 2 n-1 … n ?2 ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 定理 令pj= ,j=0,1,2,…,则{pj,j=0,1,2,…}存 在,且 其中 特别地,当?1=?2时,有 证明 由生灭过程的极限定理即得。 ■ 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 结论 在Ⅰ号台的平均对长 在Ⅰ号台的平均等待对长 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 3.车辆在Ⅰ号台的等待时间 假定车辆是按先到先服务。 令pj-表示到达Ⅰ号台的车辆看到Ⅰ号台已有j辆车的平稳概率,则 pj-=P{Ⅰ号台恰好有j辆车|新车进入} 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 定理 令Wq表示在统计平衡下,该车辆在Ⅰ号台的 等待时间,则分布函数Wq(t)=P{Wq?t}为 平均等待时间为 44-* * 计算机科学与工程学院 顾小丰 某系统利用2台计算机进行容错处理。如果1台计算机正常工作时间服从负指数分布,平均10天,而计算机损坏时由1名工程师维修,维修1台计算机的时间是负指数分布的,平均5天。求:2台计算机都正常运行的概率和由于计算机损坏无法运行的概率,系统中平均运行的计算机数。 某电视台有2部发射机,1部发射1部备用。如果1部正常工作时间服从负指数分布,平均9天,而调整维修1部机器的是负指数分布的,平均3天。求无备用机而正常运转的概率和由于停
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