2016湖南城市学院随机过程讲稿.pptVIP

第二章 相关理论与二阶矩过程 随机过程的基本类型 随机过程的均方微积分 随机过程的遍历性 平稳随机过程的概念 设{X(t)，t ?T }是随机过程，对任意常数?和正整数n， t1,t2,?, tn?T, t1+?, t2+?,?,tn+? ?T， 若(X(t1), X(t2), ?, X(tn))与 (X(t1+?), X(t2+?),?, X(tn+?)) 有相同的联合分布，则称{X(t)，t ?T }为严平稳过程，也称狭义平稳过程。 设{X(t)，t ?T }是随机过程，并满足： (1){X(t)，t ?T }是二阶矩过程； (2)对任意t ?T ，mX(t)=EX(t)=常数（mX）； (3)对任意s, t ?T ， RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)= RX(t) ， 则称{X(t)，t ?T }为广义平稳过程，简称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，n?T }为平稳序列。 广义平稳过程 严平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 例2.1 设X(t)=Ycos(?t)+Zsin(?t), t0，且Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=?2，试讨论随机过程{X(t), t0}的平稳性。 解 例2.2 设{Xn,n=0, ?1, ?2,?}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =?2 ，试讨论随机序列的平稳性。 解 因为E[Xn]=0， 所以{Xn,n=0, ?1, ?2,?}是平稳随机序列。 例2.3 设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2? t)，其中 是(0,1)上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,?，试讨论随机过程X(t)的平稳性。 解 联合平稳随机过程 设{X(t)，t ?T }和{Y(t)，t ?T }是两个平稳过程，若它们的互相关函数E[X(t)Y(t-?)]及E[Y(t)X(t-?)]仅与?有关，而与t无关，即 RXY(t, t-?)=E[X(t)Y(t-?)]=RXY(?) RYX(t, t-?)=E[Y(t)X(t-?)]=RYX(?) 则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数， 例2.4 设X(t)=Asin(?t+ )， Y(t)=Bsin(? t+ -?)为两个平稳过程，其中A,B,? 是常数， 是(0,2?)上的均匀分布随机变量， 证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 证明： 随机过程的均方微积分 微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析 定义2.5：设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有 成立，则称{Xn}均方收敛于X。 记作 或 定义2.1： （柯西收敛定理） 二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是 定义2.2：设{Xn}, {Yn}, {Zn},都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a,b,c为常数，令 则(1) (2) (3) (4) (5) (6) 定义2.3： 设{Xn} 为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件是下列极限存在 定义2.6：设有二阶矩过程{X(t),t?T}，若对每一个t?T ，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若对T中的一切点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续。 定义2.4： （均方连续准则） 二阶矩过程{X(t),t?T}，在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。 推论 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，t?T}上连续，则它在T?T上连续。 定义2.7：二阶矩过程{X(t),t?T}，若存在随机过程X?(t)，满足 则称X(t)在t点均方可微， 记作 并称X?(t)为X(t)在t点的均方导数。 若X(t)在T上每一点均方可微，则称X(t)在T上均方可微。 类似地可定义二阶均方导数 相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义