复件文科经管类微积分微积分(上)总复习.ppt

一、 函数、极限、连续 函数的特性 2 极限 无穷小 5. 连续与间断 三、 中值定理 连续函数的极值 例1. 设 2.需求对价格的弹性 定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数为Q=Q(P)可导，则称 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为 主要内容 重要理论---中值定理 导数在求极限中的应用---洛比达法则 应用导数研究讨论函数性质及作图形 第三章 中值定理与导数的应用 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 若 (3) f(a) = f(b) 使 在( a , b ) 内至少存在一点 罗尔定理 拉格朗日中值公式 应用： (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明方程有解(存在ξ满足方程) 方法 导数在求极限中的应用---洛比达法则 函数的性质 单调性 单调性的判别法 单调区间的求法 函数极值 函数极值的定义 函数极值的求法 函数最值 最值存在判别法 函数最值的求法 曲线凹凸性 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法 上凹 下凹 拐点 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 最大值 最小值 极大值 极小值 拐点 上凹的 驻点 单增 单减 应用导数研究讨论函数性质及作图形 且 证明至少存 在一点 使 解: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 故 由于 证 只要证 从而 利用拉格朗日定理可证明不等式 例8 证明多项式 在 上不可能有两个零点. 分析: 反证法 由罗尔定理 矛盾 设有两个零点 例13 例5 证： 综上所述, 当 x ≠ 0 时, 总有 e x 1 + x 令 f (x) = e x－(1 + x) 则 f ?(x) = e x－1 当 x 0 时, f ?(x) 0, f (x) 在 [0, +∞) 为增函数 即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 当 x 0 时, f ?(x) 0, f (x) 在(－∞, 0] 为减函数 即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 利用函数的单调性证明不等式： 例4 证 因此, * * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 上页 下页 结束 返回 首页 铃 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 上页 下页 结束 返回 首页 铃 * * * * 一、函数、极限、连续 二、导数与微分 微积分（上）总复习 三、导数的应用 四、不定积分 1. 函数 定义: 定义域 值域 设 函数为特殊的映射: 其中 定义域：使表达式有 意义的实数全体或 由实际意义确定。 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 复合函数(构造新函数的重要方法) 初等函数 由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次 复合而成且能用一个式子表示的函数. 例如. 函数 基本初等函数: 常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2. 如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的. 1. 函数的单调性 如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 下页 3 极限存在准则及极限运算法则 4. 无穷小 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 两个重要极限 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 等价无穷小代换 函数连续的定义 函数间断点 第一类（左右极限存在） 第二类（左右极限至少有一个不存在） 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 例3. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示: 有无穷间断点 及可去间断点 解: 为无穷间断点, 所以 为可去间断点 , 极限存在 例4. 设函数 试确定常数 a 及 b . 主要内容 （一）导数与微分的概念 （二）导数与微分的运算 第二章 导数与微分 微积分(上)期末复习课件 导数的概念 导数的定义 几何意义 可导与连续的关系 函数可导一定连续， 但连续不一定可导. 高阶导数的定义 记作 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 导数的运算 求导法则 和、差、积、商的求导法则 复合函数的求导法则 初等函数的求导 分段点要分别求导