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八、指标置换 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张量同阶的新张量 九、对称化和反对称化 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同, 则称该张量关于这两个指标为对称, 若与原张量相差一符号, 则称该张量关于这两个指标为反称。 有6个独立分量 有3个独立分量 九、对称化和反对称化 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 ?对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换, 并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。 九、对称化和反对称化 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 ?反称化: 对已知张量的 N 个指标进行N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值, 这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。 十、商法则 若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数 A(ijk), 且A(ijk)bk=Cij, 其中bk 是与A(ijk)无关的任意矢量 , Cij是张量 , 那么 , A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 用于判定某些量的张量性！ §A-5 二阶张量（仿射量） A 张量分析 B的作用如同一个算子, 它使空间内每一个向量变换为另一个向量, 或者说 B 能把一个向量空间映射为另一向量空间。 §A-5 二阶张量（仿射量） A 张量分析 一、仿射量的转置BT 对称张量 反对称张量 §A-5 二阶张量（仿射量） A 张量分析 一、仿射量的转置BT α和b为任意向量 A 张量分析 §A-5 二阶张量（仿射量） 一、仿射量的逆B-1 A 张量分析 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 对于仿射量B, 若存在三个相互垂直的方向i,j,k, 其映象 B·i,B·j,B·k也相互垂直, 则称该三个方向为 B 的主向。对称仿射量T 必存在三个主向和三个相应的主值。主值S 满足如下特征方程。 A 张量分析 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 A 张量分析 §A-5 二阶张量（仿射量） 三、对称仿射量的主向和主值 三、对称仿射量的主向和主值 笛卡儿坐标 A 张量分析 §A-5 二阶张量（仿射量） A 张量分析 §A-5 二阶张量（仿射量） 四、各向同性张量 各向同性张量——在坐标任意变换时, 各分量保持不变的张量 零阶张量(标量)总是各向同性的。一阶张量(即矢量) 总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,如果其三个主值相等, 即S1=S2=S3=λ,则是各向同性的。 §A-5 二阶张量（仿射量） 四、各向同性张量 证明： (1)4个指标都相同的分量有3个 §A-5 二阶张量（仿射量） 四、各向同性张量 证明： (2) 4个指标有3个相同的分量有24个 以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为 要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等， A1112 。必为零。 所以 A1123=0。其它都为零。 (3) 4个指标中有2个相同的分量有36个 以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则 将此三类分量用统一形式表示为： (3) 4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。 在空间所论域内, 每点定义的同阶张量, 构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。笛卡儿坐标系中的张量分析。 A-6 张量分析 ?一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子) 设有标量场?(x), 当位置点r(x)变到r(x+dx)时, ?的增量d? 命为 梯度算子,矢量算子 A-6 张量分析 ?一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子) A-6 张量分析 1. 标量场的梯度 2. 矢量场u的散度 ?一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子) A-6 张量分析 3. 矢量的旋度 二、张量场的微分 A-6 张量分析 1. 张量A的梯度 左梯度 右梯度 张量的梯度为比原张量高一阶的新张量 二、张量场的微分 A-6 张量分析 1. 张量A的散度 左散度 右散度 张量的散度为比原张量低一阶的新张量 二、张量场的微分 A-6 张量分析 3. 张量A的旋度 左旋度 二、张量场的微分 A-6 张量分析 3. 张量A的旋度 右旋度 三、散度定理 A-6 张量分析 高斯积分公式为