理论力学—质点动力学基本方程_培训课件.ppt

9.3 质点动力学的两类基本问题 例5 在重力作用下以仰角α初速度v0抛射出一物体。假设空气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即FR＝Cv，C为阻力系数。试求抛射体的运动方程。 解：以物体为研究对象，将其视为质点。建立图示坐标。在任一位置质点受力如图。由直角坐标形式的质点运动微分方程得 v0 v M FR mg O y x a q 9.3 质点动力学的两类基本问题 因为 将它们代入运动微分方程，并令 ，得： 9.3 质点动力学的两类基本问题 这是两个独立的线性二阶常系数常微分方程，由常微分方程理论可知，它们的解为 求导得 其中，C1、C2 、D1、D2为积分常数，由运动初始条件确定。 9.3 质点动力学的两类基本问题 当t＝0时，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina 代入以上四式，求得 于是质点的运动方程为 9.3 质点动力学的两类基本问题 上式即为轨迹的参数方程，轨迹如图所示。 当α较大时， ，当α 较小时，由运动方程求。 质点的速度公式为 由第一式可知轨迹渐近线为 对于抛射体的射程： v0 v M FR mg O y x a q A 9.3 质点动力学的两类基本问题 由上式可见，质点的速度在水平方向的投影vx不是常量， 而是随着时间的增加而不断减小， 当t→∞时，vx→0； 质点的速度在y轴上的投影vy，随着时间的增加，大小和方向都将变化， 当t→∞时，vy→g/μ，方向铅垂向下。 因此，质点的运动经过一段时间后将铅直向下作匀速运动。 9.3 质点动力学的两类基本问题 例6 如图所示，一细常杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置θ 时对球的约束力。 解：以小球为研究对象，将其视为质点。 v0 q O l O1 S M (+) n t 建立图示的自然坐标。 由运动学知： 9.3 质点动力学的两类基本问题 （1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出 ，代入（2）式即可求出FT。 因为 所以 q O l O1 S v0 mg FT M (+) n t 在任一位置质点受力如图。 即 由自然坐标形式的质点运动微分方程得 9.3 质点动力学的两类基本问题 得： 由初始条件：t＝0时，q0＝0， 代入上式得 将其代入（2）式，得 下面将计算结果作进一步的讨论： 9.3 质点动力学的两类基本问题 由(3)得 此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知:当 时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。 (4)式给出约束力FT随q 角的变化规律。 当q＝0时， 当q＝p 时， 若令FT = 0，可由(4)式给出约束力为零时，杆的位置(设此时杆的位置用qA表示)所满足的条件 因此，要使FT 0，必须满足 。 9.3 质点动力学的两类基本问题 即 若 则 因此，在区间 范围内，总存在确定的θA值，使小球在这一点不受杆的作用。 当qqA时，FT＞0，即小球受拉； 当qqA时，FT＜0 ，即小球受压。 9.3 质点动力学的两类基本问题 u mg s 例7：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u , ? = 0。求绳作用在小球上的力F(? ), 并分析小球的运动。 解：1、取研究对象画受力图 F ? n 积分上式可得： 2、确定坐标系 3、建立微分方程 9.3 质点动力学的两类基本问题 分析小球微幅摆动的运动规律 运动特点：等时性 （周期与初始条件无关） 初始条件： 微分方程的通解 确定积分常数 9.3 质点动力学的两类基本问题 解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程 2、建立直角坐标形式的运动微分方程 y x o v mg R 例8:建立炮弹的运动微分方程。设空气阻力的大小与速度的平方成正比。 运动微分方程 9.3 质点动力学的两类基本问题 炮弹运动轨迹图 9.3 质点动力学的两类基本问题 飞机空投物体速度大小随时间的变化 9.3 质点动力学的两类基本问题 例9: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径r为1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。 o 解：取质点为研究对象 由（2）式解得： 代入（1）式得： 当： 同理，当： 9.3 质点动力学的两类基本问题 数值方法给出质点位置、速度和切向加速度随时间的变化规律 o t(s) 9.3 质点动力学的两类基本问题 y x o v mg 思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 设空气