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则有 ∴SA⊥AB,SA⊥AD. 又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面ABCD,∴SA⊥CD. 由CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面SAE. (2)侧棱SB上存在点F，当F为SB的中点时，使得CF∥平面SAE. 证明 假设侧棱SB上存在点F，使得CF∥平面SAE. 不妨取SA的中点N，连接EN，过点N作NF∥AB,交SB于F点，连接CF. 则作图知NF AB,点F为SB的中点. 又∵CE AB，∴NF CE， ∴四边形CENF为平行四边形,∴CF∥EN. 又∵EN平面SAE，CF平面SAE，∴CF∥平面SAE. 即当F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE. 学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键. 举一反三 4. 长方体ABCD-A′B′C′D′，点P∈BB′（不与B、B′重合）， PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求证：MN∥平面AC. 证明 如图，连接A′C′,AC, ∵ABCD-A′B′C′D′为长方体， ∴AC∥A′C′. ∵AC平面A′C′B,A′C′平面A′C′B, ∴AC∥平面A′C′B. 又∵平面PAC过AC与平面A′C′B交于MN， ∴MN∥AC. ∵MN平面AC，AC平面AC， ∴MN∥平面AC. 题型五 平行关系的综合应用 【例5】(12分)求证:若一条直线分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们的交线平行. 分析 此题可先过直线作平面分别与已知两平面相交,由线面平行的性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而进一步证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论. 证明 ∥α, ∥β,α∩β=a.过 作平面γ交α于b,过 作平面δ交β于c,……………………………………………………..3′ ∵ ∥α, γ,α∩γ=b, ∴ ∥b.(线面平行的性质定理) 同理 ∥c……………………………………………….5′ ∴b∥c………………………………………………….6′ 又∵cβ,bβ,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′ 又∵bα,α∩β=a, ∴b∥a.(线面平行的性质定理)10′ ∴ ∥a.(公理4)…………………………………………………..12′ 学后反思 把文字语言转化成符号语言和图形语言，过 作平面γ和δ与α、β得到两条交线，利用线面平行的性质定理及公理4可证得交线平行，从而进一步证明一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论. 举一反三 5. 如图所示,在四面体A-BCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问:截面在什么位置时,截面的面积最大? 解析 ∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和 平面ABD分别交于FG、EH, ∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH. 同理可证,EF∥GH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 设AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均为定值,其中α为异面直线AB与CD所成的角),又设FG=x,GH=y, 由平面几何知识,得 两式相加,得 ,即 ∵x0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值)， ∴当且仅当x=a-x,即x= 时, 故当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时,截面 面积最大. 易错警示 【例】如图所示，平面α∥平面β，点A∈α,C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.求证：EF∥β. 错解 ∵α∥β，∴AC∥BD. 又AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD. 又EFβ，BDβ，∴EF∥β. 错解分析 上述解法的错误在于未讨论AB与CD是否共面，而直接把AB、CD作为共面处理，忽视异面的情况.本题中对AB、CD位置关系的讨论具有一定的代表性，可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现. 正解 ①当AB，CD在同一平面内时， 由α∥β，α∩平面ABDC=AC， β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD, ∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD, 又EFβ，BDβ，∴EF∥β. ②当AB与CD异面时，如右图所示， 设平面ACD∩β=DH，且DH=AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH, ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD， 又∵AE∶EB=CF∶FD， ∴GF∥HD,EG∥BH， 又EG∩GF=G，BH平面β，DH平面β， ∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. 考点演练 10. 如图,下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点