第06讲 三角形中的三角函数问题.ppt

* 知识梳理 高考速递 典例精析 三角形中的三角函数问题 第六讲 等形 式，以解决不同的三角问题. ② （1） 正弦定理： ,其中R为三角 形外接圆的半径.正弦定理可变形为： ① （2） 余弦定理： 余弦定理可变形为 知识梳理 （3） (r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r. (4) 解三角形的常见类型及解法 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°，求出角C，再用正弦定理或余弦定理求出边c，可有两解、一解或无解 正弦定理 余弦定理 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 由余弦定理求出A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C，在有解时只有一解 余弦定理 三边(如a、b、c) 由余弦定理求第三边c；再由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时只有一解 余弦定理 正弦定理 两边和夹角(如a、b、C) 由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解. 正弦定理 一边和两角(如a、B、C) 一般解法 应用定理 已知条件 (5).在 中，已知a、b和A时，B的解的情况: 解的个数 关系式 图形 A为直角或钝角 A为锐角 absinA a=bsinA bsinAab a≥b a≤b ab 无解 一解 两解 一解 无解 一解 由 ，得 1.(2008·江西卷)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对 的边，a= , , , 求角A、B及b、c. 【解析】 高考速递 cos(B－ 即 C)=1, 高考速递 2.(2007·上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(用反三角函数表示)？ 北 解决本题的关键是根据问题实际找出等量关系，利用余弦定理和正弦定理列出方程，从而使问题获解. 【点评】 【解析】 北 如图，连结BC，在ΔABC中，由余弦定理 因为2cos2B-8cosB+5=0, 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判断△ABC的形状. 由三角函数的倍角公式化简所给方程，再紧扣已知条件a、b、c成等差数列寻找边角关系，进行整理求解. 【分析】 【解析】 典例精析 因为a、b、c成等差数列，所以a+c=2b, 又因为0Bπ,所以 此题先由方程求角B，再根据条件选用余弦定理，问题可获解. 【回顾与反思】 故ΔABC为等边三角形. 如图所示，点P为斜三棱柱 的侧棱上 的一点， 交 于点M，PN⊥ 交 于点N.在任意△DEF中有余弦定理 -2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面的面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式 . 变式训练 类比的思想，明确目标，紧抓 面积结构形式和余弦结构形式进行配凑 【分析】 典例精析 因为C ⊥平面PMN，所以α=∠MNP. 在△PMN中， 等式两边同时乘以 ，则有 由于 【解析】 在斜三棱柱 中， CA1 CB1 为平面 与平面 所成的二面角. (1）由余弦定理 (1)已知边角关系，目标也为边角关系，故紧扣正、余弦定理进行边角转换； (2)由目标式进行弦切互换，紧扣三角形的内角和公式，消元、化简再求值.