第13讲 矩量法 Method of Momentdata.ppt

2.3.2脉冲分域基 矩量法在离散化过程中用展开函数取代基函数，带来了方便和自由。但是，随之而来的如何确保解的收敛性的问题却值得人们重视。 在尚未了解u(x)函数性态的条件下，采用有限个展开函数{ui(x)}，i=1，2，...，N时要确保解收敛显然在理论上存在不少困难，采用分域基函数可以说是比较稳妥的一种解决方案。因为大多数良态函数(不做高速振荡)均可以采用有限段直线或样条加以逼近，如图5-17-6所示。 图5-17-6 分域基函数近似 下面从最简单的脉冲函数着手展开讨论。 一般的脉冲函数可以表述为 (5-17-26) 式(5-17-26)表示以ｘi为中点，密度为1/(N+1)的脉冲函数，在实际情况下，密度可以根据问题灵活改变，如图5-17-7所示。 图5-17-7 脉冲函数 图5-17-8 三角形函数 2.3.3三角形函数分域基 三角形函数也是常用的一种分域基，如图5-17-8所示。 若采用三角形函数展开未知函数ｕ(x)，则有 (5-17-27) 所得的解的合成相当于折线连接，分段三角形函数所得的折线包络如图5-17-9所示。 为了研究具体例子，这里先给出三角形函数的导数概念。引入如图5-17-10所示的阶梯函数H(x-xi)，其定义为 图5-17-9 分段三角形函数所得的折线包络 图5-17-10 H(x-xi) 函数 (5-17-28) 再引入大家熟悉的Dirac-δ函数，也即脉冲函数，其定义为 (5-17-29) 如图5-17-11所示。 图5-17-11 δ(x-xi)函数 Dirac-δ函数有两个重要的性质： ?1.归一性 (5-17-30) ?2.选择性 (5-17-31) 这里不加证明的给出Dirac-δ函数和阶梯函数之间的重要关系。 (5-17-32) 有了以上基础就可以把三角形函数的导数用阶梯函数H表示，具体为 (5-17-33) 图5-17-12给出形象的几何表示。 图5-17-12 三角形函数导数的几何表示 [例4] 重新研究Harrington(哈林登)问题，L(u)=g，其中 L= ，g= ，边界条件为u(0)=u(1)=0。 试用以三角函数作为展开函数，脉冲函数作为权函数的矩量法求解。 [解] 根据要求可写出 于是有 上式已计及 选择权函数 于是矩阵单元 上式要分三种情况讨论。 此外，激励单元为 结果可归纳为 情况1：N=1 考虑到对比： 则有 和 的对比如图5-17-13所示。 图 5-17-13 和 情况2：N=2 l= g= 容易得到 同样对比有 和 的 对比图如图5-17-14所示。 图 5-17-14 和 情况3：N=3 于是有 同样对比有 和 的 对比图如图5-17-15所示 图 5-17-15 和 [讨论] 分域基在N不大的情况下与精确解的差距是明显的。但是它的相应矩阵是三条带矩阵，可较明显地缩小计算量。因此选择N不大的分域基并进行顶点拟合将会是一个比较好的方案。 2.4 算子研究 算子方程是矩量法建模的关键。它应该有两个方面的要求： 一方面算子方程必须符合物理(或工程)问题的主要本质； 另一方面它又必须适合数值计算。 这两个方面构成了算子研究的基础。 2.4.1 近似算子 细心的读者一定会提出这样一个问题，即[例4]中为什么不采用脉冲函数作为分域基展开？其实原因十分简单，因为脉冲函数的二阶导数表示有很大困难。