第14讲 有限元法 Finite-element Method.ppt

式(5-18-135)已通过剖分离散化和向总空间 变换，把 转化为结点 的多元函数。由于结点分为域内结点和边界结点两类，可以把式(5-18-135)进一步分成分块矩阵形式 (5-18-136) 和边界条件 (5-18-137) 能量泛函的变分提法 (5-18-138) 注意到边界条件有 ，且 为对称正定矩阵，即有 (5-18-139) Dirichlet条件表明 ，则变分式(5-18-138)可得 (5-18-140) 由于 的任意性，得到线性方程组 (5-18-141) 最后得到二维Dirichlet问题的有限元解 (5-18-142) 3.5 电磁有限元法 下面引入一典型电磁问题说明有限元法的简单应用。 3.5.1 电解槽问题 图5-18-13所示为三面接零电位，盖板电位 的典型二维电解槽。可以写出一般的微分方程 (5-18-143) 图5-18-13 二维电解槽问题 这个问题是要求槽内电位分布，本例采用分离变量法可以得到解析解。首先写出通解 (5-18-144) 由式(5-8-143)边界条件可写出 (5-18-145) 而盖板电位 (5-18-146) 可解出 (5-18-147) 最后所得解析解为 (5-18-148) 3.5.2 数值解模型 上述实例由于问题对称性可以化成1/2区域的混合型问题，如图5-18-14所示。模型的变分提法是 (5-18-149) 注意， 是自然边界条件，无须列出。 图5-18-14 对称混合型问题 3.5.3 有限元解 (1)结点部分 作为例子，对于一半区域剖分为8个三角形，总结点数p=9 其中 如图5-18-15所示。 图5-18-15 单元剖分 具体的输入数据表5-18-1所示。 表5-18-1 输入数据表 (2) k矩阵计算 本例中电解槽无源，典型单元e中的能量泛函 (5-18-150) 首先计及在u(i,j,m)空间，有 (5-18-151) 且 (5-18-152) (5-18-153) 具体计算表格如表5-18-2所示。 表5-18-2 计算表 将上面 表构成总的k矩阵时，必须注意到相当的k标号应该选加号，其中上标代表三角单元数，于是得到： 在序号上将内部节点和边界节点重新排列，有总矩阵k 重新写出能量泛函的分块矩阵形式 (5-18-156) 计及 可得变分 (5-18-157) 考虑到 的任意性及 的条件，得到: (5-18-158) 如果只求内部节点 ，则更可简化为 (5-18-159) 计及(5-18-155)和(5-18-156)两式，具体化为 (5-18-160) 很容易解出 (5-18-161) 再计及此问题的解析解式，注意到 (5-18-162) 可得精确解 再核对误差率约为2.4% 试证明同轴线传输功率最大时其特性阻抗为30欧 解：设同轴线的外导体的内径为b, 内导体的外径为a. 用位函数的梯度表示，同轴线中的电场有 　　　　　　　 ，其中Φ满足微分方程 　　　　　　　　　 解之有： 　　 利用边界条件： 　 所以　 ，即 电场　 （式中省去了exp(-jkz）因子) 同轴线传输的功率：