第1章3线性规划及单纯形法.ppt

1.2 线性规划问题解的基本理论 一、LP问题的各种解 可行解、最优解（最优值） 1、可行解：满足约束条件和非负条件的决策变量的一组取值。 2、最优解: 使目标函数达到最优值的可行解。 3、最优值：最优解对应目标函数的取值。 即： 二、与线性规划问题解有关的基本概念 1.基：设A是约束方程组m×n的系数矩阵， A的秩R(A)＝m，B是A中m×m阶非奇异子式, 即|B|≠0, 则称B是LP问题的一个基。 基向量、基变量、非基变量、基本解？ 不妨设： 结合图形法分析 求解线性规划问题的基本思路 1、构造初始可行基； 2、求出一个基本可行解（顶点） 3、最优性检验：判断是否最优解； 4、基变化，转2。要保证目标函数值比原来更优。 练习2：教材p31 4(2)、2(1) 列出初始单纯形表： 列出初始单纯形表： （3）max z = 3x1 + 6x2 s.t. x1 - 2x2 ? -2 x1 + 2x2 ? 6 x1 , x2 ? 0 解：化问题为标准型 max z = 3x1 + 6x2 +0x3 +0x4 s.t. -x1+ 2x2 +x3 = 2 x1+2x2 + x4 = 6 x1 , x2 , x3 , x4 ? 0 因为检验数全小于等于零，得最优解： X (1) =（2/3，8/3，0，0）T , z*= 18. 又因为非基变量x3对应的检验数等于0,所以有无穷多最优解。 X(2)=(15,20,0,0)t 相当于Q2(15,20) 例2： 求解线性规划问题： min S = x1 - x2 s.t. -x1+ x2 ? 2 2x1- x2 ? 2 x1 , x2 ? 0 解：化标准型： max S? = -x1+x2 s.t. -x1+ x2 +x3 = 2 2x1 - x2 +x4 = 2 x1 , x2 , x3 , x4 ? 0 列出初始单纯形表： 计算检验数，确定进基变量、出基变量，找到主元： 进行初等行变换： 再计算检验数： 因为检验数全小于等于零，得最优解： X=（0，2，0，4） S?=2 S = -2 注意：虽然所有检验数全小于等于零，但非基变量x1对应的检验数=0，若以x1进基，x4出基,其最优值不变。 进行初等行变换 计算检验数： 因为检验数全小于等于零，得另一个最优解：X=（4，6，0，0）S?=2 S = -2 根据解的性质： 最优解 X（1）=（0，2，0，4）t， X(2) =（4，6，0，0）t 连线上的点仍是最优解： X=? X（1） +(1- ?) X（2） (0 ? ? ? 1) 因此，本题有无穷多组最优解。 例3 求解线性规划问题： max S= 2x1+x2 s.t. x1 - x2 ? -5 2x1 - 5x2 ? 10 x1 , x2 ? 0 解：化标准型： max S = 2x1 + x2 s.t. -x1+ x2 +x3 = 5 2x1 - 5x2 +x4 = 10 x1 , x2 , x3 , x4 ? 0 列出初始单纯形表： 计算检验数，确定进基变量、出基变量，找到主元： 进行初等行变换 再计算检验数，确定进基变量为x2： 由于进基变量X2所对应的系数全都小于0， 所以原问题无最优解. 课堂作业： 单纯形法求解线性规划问题 (1) min S = x1 - 3x2 + 2x3 + 4x4 s.t. 2x1+ 4x3 +x4 = 6