第1章线性规划与单纯形法第6节.ppt

运筹学(第三版) 《运筹学》教材编写组 编 清华大学出版社 第6节??应 用 举 例 一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件时，才能建立线性规划的模型。 (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来表示，且Z=f(x)为线性函数； (2) 存在着多种方案； (3) 要求达到的目标是在可以量化的，并要有足够数据的一定约束条件下实现的；这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。 下面举例说明线性规划在经济管理等方面的应用。 例10 合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省。 解 最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。 见表1-11。 表1-11 套裁方案 为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2，Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。根据表1-11的方案，可列出以下数学模型：  在以上约束条件中加入人工变量x6,x7,x8；然后用表1-12进行计算。 第1次计算 第2次计算 例1-11的 最终计算表（第3次计算） 由计算得到最优下料方案是： 按Ⅰ方案下料30根； Ⅱ方案下料10根； Ⅳ方案下料50根。 即需90根原材料可以制造100套钢架。 例11 配料问题 某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-13和表1-14。该厂应如何安排生产，使利润收入为最大? 解 如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，依次类推。见表1-13有： 根据表1-13有： 表 1-14 原材料供应数量的限额 表1-14表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此 约束条件： AC+BC+DC≤100 AP+BP+DP≤100 AH+BH+DH≤60 在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,…,x9表示。令 x1=Ac, x2=Ap, x3=AH, x4=BC, x5=BP, x6=BH, x7=DC, x8=DP, x9=DH. 约束条件可表示为： 目标函数 目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。 产品价格为：50(x1+x2+x3)——产品A 35(x4+x5+x6)——产品B 25(x7+x8+x9)——产品D 原材料价格为：65(x1+x4+x7)——原材料C 25(x2+x5+x8)——原材料P 35(x3+x6+x9)——原材料H 为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10～x16，得到数学模型： 例11的线性规划模型 最优解： 这数学模型，可用单纯形法计算，经过四次迭代，获得最优解为：x1=100,x2=50,x3=50；这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构成产品A。 即每天只生产产品A为200kg，分别需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg。 从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。 例12 生产与库存的优化安排 某工厂生产五种产品(i=1,…,5)，上半年各月对每种产品的最大市场需求量为di j(i=1,…,5;j=1,…,6)。已知每件产品的单件售价为Si元，生产每件产品所需要工时为ai，单件成本为Ci元；该工厂上半年各月正常生产工时为rj(j=1,…,6)，各月内允许的最大加班工时为r’j;C’i为加班单件成本。又每月生产的各种产品如当月销售不完，可以库存。库存费用为Hi(元/件·月)。假设1月初所有产品的库存为零，要求6月底各产品库存量分别为ki件。现要求为该工厂制定一个生产计划，在尽可能利用生产能力的条件下，获取最大利润。 解 设xi j,xij′分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yi j为i种产品在第j月的销售量，ωi j为第i种产品第j月末的库存量。根据题意，可用以下模型描述 线性规划模型 (1) 各种产品每月的生产量不能超过允许的生产能力，表