第2章 弹性平面问题的有限单元法√.ppt

第2章 平面问题的有限单元法 弹性力学中的虚功原理 三角形常应变单元 结构的整体分析 约束条件 求解位移的代数方程组 三边形高次单元 矩形单元 平面梁单元 ANSYS简介 2.1 弹性力学的经典能量原理 1 张量的基本概念 弹性力学中的物理量 指标符号 用带有一个下标的符号表示向量(一阶张量)的分量，如ui表示{u}的分量，fi 表示{ f }的分量；下标 i 取值为1，2，3． 用带有两个下标的符号表示矩阵(二阶张量)的分量，如σij表示[σ]的分量；下标 i，j 分别取值为1，2，3． 还有三阶、四阶等张量． 2 虚功方程 两种可能状态 可能位移和相应的可能应变 满足协调性要求的位移场称为几何可能位移场，也即满足位移边界条件和单值连续条件的位移场，简称可能位移．将这样的可能位移场代入几何方程，求出的应变场称几何可能应变场，简称可能应变． 从这样的定义来看，可能位移场和相应的可能应变场是满足了全部协调性要求的位移场和应变场．进一步地，如果这样的应变场通过物理方程求出的应力场也满足平衡方程，则这样的可能位移场和相应的可能应变场就是问题的真实解，否则就仅仅是可能的． 可能应力 满足平衡要求和力边界条件的应力场称为平衡可能应力场，简称可能应力． 进一步地，如果这样的可能应力场通过物理方程求出的应变场，通过几何方程求出的位移场能够满足所有协调性要求，则这样的可能应力就是问题的真实解，否则就仅仅是“可能的”． 这个位移场不一定与 将虚功方程写成矩阵形式 3 虚位移原理及其变分形式 虚位移原理 应力场是可能应力场的充分与必要条件是，对于任意可能位移场的任意变分，均能使虚功方程(6)成立． [证明]： 证明必要性，即证明若应力场是可能应力场，则它与任意可能位移场一起代入虚功方程，虚功方程肯定成立． 其实这就是虚功方程本身的含意，毋需再证． 证明充分性，即证明将一个应力场与任意可能位移场一起代入虚功方程，虚功方程成立，则它就是可能应力场．我们可以把一个应力场和任意可能位移场以及相应的应变场代入虚功方程，经过演算，可以得到平衡方程和力的边界条件，即应力场是可能应力场． 取应力场 和可能位移场 (相应应变场 )代入虚功方程(6)的左端（第一步用a式，第二步奥高公式） 虚位移原理的变分形式 传统上，虚位移原理的可能位移 用位移变分 来代替。位移变分可以理解为两种可能位移 之差 取上两式之差，则 4 最小势能原理 基于弹性力学的理论，可以由虚位移原理推导出最小势能原理．如果把弹性力学问题作为势能泛函的极值问题提出，则要寻求的弹性力学问题的解，就是这些泛函的极值函数。在建立弹性力学问题近似解法时，它们等价于虚位移原理． 既然应变能密度函数U只是应变分量 的函数，根据变分运算，应有 (13)式可写成 2.2 三角形常应变单元 1 结构离散化 所谓离散化，是将结构分割成有限个单元体，使相邻单元仅在节点处连接，分析对象由这个单元结合体代替原结构．对于二维问题，可以根据实际结构的形状、材料、计算精度等方面的要求，选取不同的单元．用三角形单元离散结构如图 3 所示． 将节点坐标代到(1)的第一式，得 (*证明见周革生．三角形面积公式的行列式形式及应用．中国科技信息,2006,(13):142) 将(b)式代入(1)的第一式，得 记 按同样的方法处理(1)的第二式，得 称Ni为单元ijm的形状函数，简称形函数(亦称为插值函数) ．导出插值函数的方法有许多种，本课程打算介绍三种推导方法，这是第一种．后面还要介绍其他两种方法． 3 应变与应力 将(4)式代入(5)式 对于平面应力问题，物理方程为 将上式改写成 其中，第rs个子块，对于平面应力问题 单元应变能可写成 5 单元外力势能 体积力的势能 考虑单元内任一点的体积力为 ，单元发生位移后，体积力具有的势能为： 集中力的势能 作用在节点上的集中力记为 集中力具有的势能为 单元上的外力势能为体积力、面力、集中力的势能之和： 6 单元总势能 单元的总势能等于单元的应变能与外力势能之和，即 根据最小势能原理，应该有 ，即 这是“形式”上的单元刚度方程，之所以成为“形式”上的，因为它表示了 的关系，但却不能通过此式求出 ，因为 是奇异的． 7 单元刚度矩阵的性质 对称性 奇异性 分块性 每个元素的物理意义 不随单元的平行移动和作的转动而改变． 2.3 结构的整体分析 1 结构中的总势能 设结构划分为L个单元，共有n个节