第32章平稳时间序列分析ARMA模型.ppt

第三章 平稳时间序列分析 第二节 ARMA模型 AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model） 一、AR模型(Auto Regression Model) 具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为 特别当 时，称为中心化 模型 AR(P)序列中心化变换 例3.1:考察如下四个模型的平稳性 例3.1平稳序列时序图 例3.1非平稳序列时序图 （三）AR模型平稳性常用判别方法 AR(1)模型的平稳性条件也可以如下讨论： 而AR(1)的算子多项式方程： 2、AR(2)模型平稳条件 特征根为 又由于： 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： 例3.1平稳性判别 （1）Green函数定义 求Green函数递推公式 （2）平稳的AR(p)模型的方差 例3.2: 求平稳AR(1)模型的方差 3、自协方差函数 例3.3:求平稳AR(1)模型的自协方差函数 例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差 4、自相关系数 （3）常用AR模型自相关系数递推公式 5、平稳AR(p)模型自相关系数的性质 例3.5:考察如下AR模型的自相关图 例3.5— 自相关系数按负指数单调收敛到零 例3.5:— 自相关系数呈现正负相间地衰减 例3.5:— 自相关系数呈现出“伪周期”性 例3.5:— 自相关系数不规则衰减 6、偏自相关函数 8、平稳AR(p)模型偏自相关系数的截尾性 例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图 例3.5— 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 例3.5:— 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 例3.5:— 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 例3.5:— 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 二、MA模型（Moving Average Model） （二）MA模型的统计性质 （3）MA模型的自协方差函数 (5)常用MA模型的自相关系数 MA(1)模型 MA(2)模型 (6)MA模型的偏自相关系数 例3.6:考察如下MA模型的相关性质 MA模型的自相关系数截尾 MA模型的自相关系数截尾 MA模型的偏自相关系数拖尾 （三）MA模型的可逆性 （1） MA模型可逆性的定义 （2）可逆的MA(1)模型 （3）MA模型的可逆条件 （4）MA模型逆函数的递推公式 例3.6续:考察如下MA模型的可逆性 三、ARMA模型 （二） ARMA(p,q)平稳条件与可逆条件 （三） ARMA(p,q)传递形式与逆转形式 传递形式 逆转形式 （四）ARMA(p,q)模型的统计性质 自相关系数和偏自相关系数拖尾性 样本自相关图 样本偏自相关图 ARMA模型相关性特征 （一）MA模型的定义 具有如下结构的模型称为 阶移动平均模型， 简记为 特别当 时，称为中心化 模型 利用延迟算子，中心化 模型又 可以简记为 其中， 是 阶移动平均系数多项式 为了以后识别一个模型是否是移动平均模型 MA(q)，下面讨论MA模型的统计性质 （1）常数均值 （2）常数方差 显然， MA模型是平稳的。 MA(q)自协方差函数q 阶截尾 （4）MA模型的自相关函数 MA(q)自相关系数q 阶截尾 MA模型的偏自相关系数拖尾 对于中心化的MA(q)模型，有 可以看出（1）（2）自相关系数相同 可以看出（3）（4）自相关系数相同 可以看出（1）和（2）的偏自相关系数相同， （3）和（4）的偏自相关系数相同。 由例3.6可以看出，不同的MA模型可能具有 完全相同的自相关系数和偏自相关系数，为了利 用自相关系数和偏自相关系数来识别MA模型，要 求给定一个自相关函数能够对应惟一的MA模型， 这就要求我们给模型增加约束条件，这个约束条 称为件MA模型的可逆性条件。 定义：若一个MA模型能够表示称为收敛的 AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA 模型。 意义：可以保证一个自相关系数列唯一对应 一个可逆MA模型。 MA(q)模型可逆的充要条件是： MA(q)模型的特征根都在单位圆内 等价条件是算子多项式的根都在单位圆外 利用待定系数法可得如下逆函数递推公式 由 若MA模型可逆，则MA模型可表示为