第3章 离散傅里叶变换(DFT)09-10-1.ppt

第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 第三章 学习目标 理解Fourier变换的几种形式； 理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位、循环共轭对称性，掌握循环卷积、线性卷积及二者之间的关系； 掌握频域采样理论； 理解频谱分析过程。 §3.1 离散傅里叶变换的定义 一. DFT的定义 1. 周期延拓（以N为周期） 例：x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 解：设变换区间N=8， 则 二. DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为： 三. DFT的隐含周期性 DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性， 使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m，总有 例题： 已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，令 ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。 §3.2 离散傅里叶变换的基本性质 一. 线性性质 x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N 点DFT为： （补零问题！） Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 思考题： 已知x(n)是长度为N的有限长度序列，其N点DFT为X(k)=DFT[x(n)]，在序列前部补N个0值，得到序列 试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。 思考题： 已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，在序列前部补N个0值，得到序列 试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。 四. 循环卷积 1、时域循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］ 若Y(k)=X1(k)·X2(k)，求y(n)=IDFT[Y(k)] ？ 2、频域循环卷积定理 思考题： 求 的DFT的反变换，其中X(k)是序列 的5点DFT。 补充作业： 设实序列x(n)，N=14，其14点DFT为X(k)，已知前8点值为： X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4j X(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3j X(6)=-2-3j X(7)=10 试确定1）X(k)在其他频率点的值； 2）不通过计算IDFT[X(k)]，确定下列值： x(0) x(7) 一、频域采样 一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，其Z变换为： x(n)为无限长序列 时域周期延拓必会混叠失真，产生误差； 当n增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数N越大），则误差越小，即xN(n)越接近x(n)； x(n)为有限长序列，长度为M： N≥M，不混叠，可无失真恢复； NM，混叠，不可无失真恢复。 §3.4 DFT的应用举例 DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。 对时域连续信号的频谱进行分析——计算信号各个频率分量的幅值、相位和功率（功率谱具有突出主频率特性，在分析带有噪声干扰的信号时特别有用）。 线性谱估计（传统谱估计）——数据直接FFT求谱，对谱的模取平方运算得功率谱（周期图法），或对数据自相关函数求谱即为功率谱（自相关法）。对被处理数据以外数据作了不合理假设； 假设以被处理数据长度为一周期，以外为其周期延拓或全为零，准确程度受数据截取长度影响； 数据较短时，估计出来的值方差大，分辨率低，甚至面目全非。 一、用DFT对连续信号作谱分析的基本步骤 二、谱分析误差及参数选择 1、混叠失真——抽样造成的误差 时域抽样：fs≥2fh， fs限制谱分析范围 频域抽样：F0=