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第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 3.1 离散傅里叶变换的定义 　　3.1.1 DFT的定义 　　设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为 　　X(k)的离散傅里叶逆变换为 　　式中， ，N称为DFT变换区间长度，N≥M， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明IDFT［X(k)］的唯一性。 　　把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 　　所以， 在变换区间上满足下式： IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1 　　由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 　　设变换区间N=8， 则 　　设变换区间N=16， 则 　　3.1.2 DFT和Z变换的关系 　　设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为： 　　比较上面二式可得关系式 　　3.1.3 DFT的隐含周期性 　　前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于　　的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有 　　同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n) 实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即 　为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示： 式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N表示n对N求余， 即如果 ?n=MN+n1， 0≤n1≤N-1，M为整数， 则((n))N=n1 例如， 　　　　　　　　　　则有 　　所得结果符合图3.1.2所示的周期延拓规律。 　如果x(n)的长度为N，且　　=x((n))N，则可写出　　的离散傅里叶级数 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 　　3.2.1 线性性质 　　如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 　　式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］， 则y(n)的N点DFT为 ?Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1　(3.2.1) 　　其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2) 移位演示 2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则 Y(k)=DFT［y(n)］ =　　 X(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。 证明： 由于上式中求和项x((n’))N　　以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得 3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(b)］ 如果 X(k)=X1(k)·X2(k) 则