第3讲杆梁问题的有限单元法.ppt

杆梁问题的有限单元法 杆梁单元的单元刚度矩阵 坐标变换 等效结点载荷 单根的杆梁作为杆梁结构的基本成分，材料力学与结构力学中已给出了其典型构件的解析解答。用有限单元法分析杆梁结构已得到广泛应用，由于杆梁单元本身具有解析解答，无须使用近似函数作为位移模式，杆梁问题有限元分析得到的是精确解。 空间梁单元的刚度矩阵 例1简支悬臂梁的有限元分析 2计算个单元刚度如下: 4边界条件的处理 作业 两边同时左乘逆阵 ，得到 （3-11） 对照（3-8）式可知 这就是局部坐标系下的单元刚度矩阵向整体 坐标系转换的公式。 坐标转换矩阵的推导 (1)空间梁单元的坐标转换矩阵 考察位移矢量在整体坐标系下的表达向局部坐标系的转换。 先考察整体坐标系下 结点的位移向量 如何转换为局部坐标系下 结点的位移向量 。 如图3-13所示，先分析 的表达式．将 结点在总体坐标系下的位移分量 分别向局部坐标轴 投影并叠加就得到 ，由图13不难看出 同样 图13 图14 这种转换关系如图14所示，写成矩阵形式，即 （3-12） 将3-12式中所含转换矩阵记为 （3-13） 其中： 为x轴在整体坐标系中的方向余弦； 为y轴在整体坐标系中的方向余弦； 为z轴在整体坐标系中的方向余弦。 结点角位移向量的转换矩阵显然也是(3-13) 表达式． 对空间梁单元而言，每单元两个结点，则 其中： 可知单元的坐标转换矩阵应为 （3-14） 下面再说明坐标转换矩阵的正交性 由于 实际上是用整体 坐标表示的沿局部坐标系三个坐标轴方向的三个单 位矢量，它们两两相互垂直，由矢量数量积的性质 可知 则 故 为正交矩阵。显然，由此又可得出转换矩阵 也为正交矩阵的结论： （3-15） （3-16） 则（3-11）式成为 ⑵平面杆单元的坐标转换矩阵 先考察结点线位移的坐标转换，由 转换 为 。显然，由空间问题的转换矩阵可知，这 里的 矩阵为 由于是平面问题，由图3-15可知必然有 为方便计，引用三角函数关系 于是 （3-17） 图3-15 而平面杆单元中 记 则单元的坐标转换矩阵 显然也是正交矩阵。 （3-18） （3-19） 如图所示,一简支悬臂梁在右半部分受有均布外载,用有限元方法分析 该问题,并求单元节点位移。梁的参数为:E=200GPa,I=4×10-6m4。 1结构离散化 分为两个单元,三个节点.运用分布外载等效计算载荷见下图 节点位移列阵: 节点载荷列阵: 3建立整体刚度方程: 该问题边界条件为: 带入上式: 求解方程,有: 等效结点载荷 单元上的非结点载荷向结点移置时应遵循的静力等效原则，而静力等效移置的结果是唯一的，载荷移置后的结构与载荷移置前相比，所有结点位移无变化，且除进行过载荷移置的单元外，其他单元的内力分布不受影响．本讲虽然没有构造形函数设定位移模式，不便于依前述静力等效的定义进行非结点载荷的移置，仍可以根据上述等效移置应获得的效果方便地构造出等效结点载荷。 图3 (a)所示平面刚架，第3单元作用有非结点载荷，该单元相应的杆端力和杆端力矩如图3(b)所示，为V1、V2与M1、M2．构造图3(c)所示的两种受力状态，这两种状态的组合显然构成原结构的受力状态，其中Ⅱ状态的位移与内力同原结构对比，结点位移一致，其他单元内力一致，所以Ⅱ状态的结点载荷就是所要求的等效结点载荷。 图3 上述分析虽然在平面刚架中进行，对空间刚架也是同样适用的． 求等效结点载荷的具体方法归结为：按结构力学位移法解题思想求出该单元的固端力与固端力矩(参考结构力学相关内容)，将这些固端力与固端力矩反方向作用于结构的对应结点，即该单元非结点载荷的等效结点载荷。 例2、平面框架结构的有限元分析 　　如图4.15所示的框架结构,其顶端受均布力作用,用有限元方法分析该结构的位移。结构中各个截面的参数都为:E=3.0X1011Pa,I=6.5×10-7m4,A=6.8×10-4m2。 1离散化： * * 杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁杆等。