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第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 引言 问题：如何比较各班大学英语四级考试成绩的优劣？ 方案一：通过各班的最高分进行比较． 方案二：通过各班的最低分进行比较． 方案三：通过各班的平均分进行比较． 引言 随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 在一些问题中，我们往往只关心随机变量与数值有关的某些特征．这些特征虽然不能完整地描述随机变量，但在理论和实践上都具有重要的意义．例如： 在评定某一地区粮食产量的水平时，主要关心该地区的平均亩产量； 研究水稻品种的优劣时，时常关心稻穗的平均稻谷粒数; 检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度． 常见的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩． 数学期望的概念 定义：设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = xk} = pk , k = 1, 2, … 若级数 绝对收敛，则级数 的和称为 离散型随机变量 X 的数学期望，记作E(X) ． 几点说明 E(X) 是一个实数，而不是一个变量． 虽然随机变量的数学期望又称为均值，但这均值不同于一般变量的算术平均值， 而是随机变量所有可能取值的加权平均． 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数求和次序的改变而改变． 数学期望的概念 定义：设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = xk} = pk , k = 1, 2, … 若级数 绝对收敛，则级数 的和称为 离散型随机变量 X 的数学期望，记作E(X) ． 定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ，若积分 绝对收敛，则积分 的值称为连续型随机变量X 的数学期望，记作E(X) ． 数学期望的概念 定义：设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = xk} = pk , k = 1, 2, … 若级数 绝对收敛，则级数 的和称为 离散型随机变量 X 的数学期望，记作E(X) ． 定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ，若积分 绝对收敛，则积分 的值称为连续型随机变量X 的数学期望，记作E(X) ． 随机变量的函数的期望 例：设随机变量 X 具有以下的分布律 且 Y = g(X) = X2，试求E(X)，E(Y)． 解： 数学期望的性质 设所遇到的随机变量的数学期望存在，那么 性质1：常数的数学期望就是它本身，即 E(C) = C ． 性质2：常数因子可提出数学期望号之外，即 E(CX) = C E(X) ． 性质3：和的数学期望等于数学期望的和，即 E(X + Y) = E(X) + E(Y) ． 性质4：设 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X) E(Y) ． §2 方差 引言 随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均． 离散型： 连续型： 引言 例：检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度， 也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度． 若偏离程度较小，表示质量比较稳定． 若质量不稳定，则偏离程度较大． 随机变量与其均值的偏离程度的衡量： ① E[X－E(X)] ② E{|X－E(X)|} ③ E{[X－E(X)]2} 方差的概念 定义：设 X 是一个随机变量，若 D(X) = E{[X－E(X)]2} = E(X2) －[E(X)]2≥0 存在，则 E{[X－E(X)]2}称为 X 的方差，记作D(X) 或 Var(X). 把 称为标准差或均方差，记作s (X) ． 说明：方差是随机变量 X 的函数 g(X) = [X－E(X)]2 的期望． 切比雪夫不等式 定理（切比雪夫不等式）：设随机变量 X 具有期望和方差， E(X) = m， D(X) = s 2 则对于任意正数e ，都有 切比雪夫不等式 定理（切比雪夫不等式）：设随机变量 X 具有期望和方差， E(X) = m， D(X) = s 2 则对于任意正数e ，都有 标准化变量 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) = m，方差 D(X) = s2 ≠0． 记 则 其中D(X + C) = D(X) ． §3 协方差及相关系数 引言 数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均． 方差刻画了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度． 对于二维随机变量(X, Y)，不仅要讨论各个分量的期望和方差， 还要讨论描述 X 与Y 之间相互关系的数字特征． D(X+Y) = D(X)