勾股定理折叠问题含详细的 详解.ppt

利用勾股定理解决折叠问题 解题步骤 1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。 三角形中的折叠 例1：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若∠B=30°，AC= ，求DC的长。 图1 长方形中的折叠 例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。 图2 解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE， ∴AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 ，DC=DE＋EC =EF＋EC=8， ∴在Rt△ABF中 FC=BC-BF=10-6=4 设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x) 在Rt△EFC中，根据勾股定理得 EC2=FC2=EF2 即x2＋42=（8－x）2，x=3， ∴EC的长为3cm。 在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？ 探究二 如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm， 发挥你的想象力 长方形还可以怎样折叠，要求折叠一次，给出两个已知条件，提出问题，并解答问题。 课堂小结 1、标已知； 2、找相等； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。 用一张直角三角形形状的纸片,你能折叠成面积减半的矩形吗? 说明理由。 动手折一折 若用一张任意三角形形状的纸片,你还能折叠成面积减半的矩形吗? 折叠过程就是轴对称变换,折痕就是对称轴，折痕两边的图形全等。 如图，a是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图b， 如果∠GEF=20°，那么∠AEG=?????? E A D C B F 图a C B D E F G A 图b D′ C′ C D 图c C D B G A F E ? 20° 20° 相信你,一定行 如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是? ? 140° 120° 折叠问题中,求角度时，往往可通过动手折叠，或将图形还原。 如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm， C′ A D C B E 求重叠部分△BED的面积。 探究活动 探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么三角形？说明你的理由. 角平分线与平行线组合时,能得到等腰三角形 在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。 D A F B C E 1 2 3 把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？ 中点 1 3 6 探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm, 图中∠1，∠2，∠3有何关系？你能求出它们的大小吗？ 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,AD=8cm， 点E、F是矩形ABCD的边AB 、AD上的两个点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，交AD于G点。 １ 2 3 证明线段相等的方法有证全等，等角对等边，平行四边形，等量线段的和差等。 A B C D A E F G H 探究四 （1）找出图中所有相等的线段（不包括矩形的对边） （2）请你自己提出一个问题，自己解决。 x y (x,y) (E) E F (F) 分析：根据点E、F分别在AB、AD上移动，可画出两个极端位置时的图形。 10 10 8 6 6 6 4 探究五 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C的范围为 如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 4≤A′C≤8 (1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是对称轴，变换前后两个图形全等。 （2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。 （3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。 我的感悟我的收获 谢谢大家！ 2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标。 1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的