离散数学的代数理论总结.ppt

群论的应用:/q/1363558781066103 (1)我们知道群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用，例如在物理中的应用，群论是量子力学的基础 . (2)例如从群论的角度解决一些量子力学问题，主要包括哈密顿算符的对称性，距阵元定理和选择定则。 (3)伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。 伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。 最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。 /p-980628468781.html (1）安全领域的应用 (2）结构分析中的应用 (3）在纠错码中的应用 (4）在量子力学中的应用 ……. 环和域的应用 (1）密码学中 (2）控制系统和理论中 ….. * zhengjin,csu * 本节小结: １．掌握群的概念,并能灵活运用群的一些基本性质,理解群的同态和同构。给定一个代数系统及其运算，能够判断是否为半群，独异点，群等． ２．掌握子群的概念并清楚其判别方法． ３．掌握左陪集，右陪集的定义，以及拉格朗日定理． * zhengjin,csu * 本节作业： 课堂作业：１，３ 书面作业：７，８，９，１０，１６ * zhengjin,csu * 6.8 环和域 　前边讨论的是具有一个二元运算的代数系统， 这节将讨论几个具有两个二元运算的较为复杂的代数系统。先从环讨论起。环是一个具有两个二元运算的代数系统，它比群有更多的条件。 * zhengjin,csu * 定义1 一个代数系统R,+,*，如果它的两个二元运算满足 以下条件： （1）R,+是一个可交换群（即+满足：可结合，可交换，有么元，有逆元） （2）R,*是一个半群（即*满足：可结合） （3）运算*对+满足分配律 即对任意a,b,c∈R,有：a*(b+c)=a*b+a*c (b+c)*a=b*a+c*a 此时称R,+,*是环。 (显然，＋的么元e 是＊的零元。） * zhengjin,csu * 在数的系统中，整数、有理数、及实数对加法及乘法运算都构成环： 即I,+,*、Q,+,*、R,+,*都是环。 由于条件（3），所以对运算“+”的么元必是对运算“*”的零元，所以,R,*有零元，但我们知道，群中不存在零元，因此R,*不可能构成群。 ? 但是我们可以把条件放低一些。我们知道群中不可能出现零元的原因是零元无逆元，但除了零元以，其余的元素却都有可能存在逆元。 所以对R,*附加以几个条件：可交换性、有么元、除零元外均存在逆元，由此就可得域。 * zhengjin,csu * 域 定义2 一个环F,+,*如果满足下列条件： （1）??? F至少包含一个以上的元素； （2）??? F,*有么元。 （3）??? F,*可交换。即*满足交换性 （4）??? F,*除零元外的所有元素都有逆元。 （即F-{0},*是群，且由（3），是交换群） 则称F,+,*称为域。 * zhengjin,csu * 我们从环出发，看能否在环上再追加一些附加条件，我们希望R-{0},*是一个代数系统，即对运算*是封闭的。即若a≠0,b≠0,则a*b≠0,或者说，若a*b=0,则a=0,或b=0. 但是，对任一个R,*而言，它不一定满足上述性质，即是说有a*b=0但a≠0且b≠0，此时称a、b为环的零因子。而满足上述性质的则称为无零因子。 由此对R,+,*可再附加几个条件：可交换性、有么元，无零因子，从而构成一个新的代数系统叫整环。 * zhengjin,csu * 整 环 定义3 一个环D,+,*如满足下列条件： （1）??? D,*是可交换的 （2）??? D,*有么元 （3）??? D,*无零因子 则称D,+,*为整环。 在数的系统中，整数是整环但不是域（因除1外都无逆元）。实数，有理数既是整环又是域。 * zhengjin,csu * 本章回顾 本章学习指导： 这章内容相当抽象，大量的定义和定理。符号也很多，符 号不必去理会它，只是一种表示而已。但是，大量的定义，我们都必须掌握，要从本质上去理解它们，大部分定理也是从的定义基础上而得来。 要知道什么是代数，代数