离散数学第一节总结.ppt

1.3.4 命题的符号化 例1.28 伦敦到巴黎的第K123次列车是上午9点或10点开。 解　本命题中由两个原子命题，分别用命题符号P、Q表示为 P：伦敦到巴黎的第K123次列车是上午9点开 Q：伦敦到巴黎的第K123次列车是上午10点开 根据实际情况，可分析本例中的“或”是不可兼或，但联结词∨是“可兼或”。因此原命题不能表示为P∨Q。 从上表可看出仅用联结词中的任何一个都不能描述原命题中的不可兼或。但若将表中原命题的真值分别取反，则原命题的否定可表示为P ? Q。因此原命题可表示为﹁(P?Q)。 P Q 原命题 原命题的否定 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 小结 命题公式赋值后成为复合命题。 命题公式分为：重言式、矛盾式和非重言式的可满足式。 真值表可以判断命题公式的类型。 本小节的思维形式注记图： 练习 例. 下面命题符号化，并指出真值 (1) 只要8能被4整除, 就8能被2整除. (2) 因为8能被4整除, 所以8能被2整除. (3) 8能被4整除仅当8能被2整除. (4) 8能被4整除当8能被2整除. (5) 只有8能被4整除才有8能被2整除. (6) 除非8能被4整除才8能被2整除. (7) 除非8能被4整除, 否则非8能被2整除. 作业 第3小节补充习题 1.2.3 析取联结词 定义1.3　设P,Q为任意二命题，复合命题“P或Q”称为P和Q的析取式。记作P∨Q，读作“P或Q”，∨称为析取联结词。 P∨Q的逻辑关系为P与Q中至少一个成立。P∨Q为真当且仅当P与Q中至少一个为真。 命题P∨Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。 P Q P ∨ Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1.2.3 析取联结词 联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。但自然语言中的“或”既可以是“排斥或?”也可以是“可兼或?”。 例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。（排斥或） 例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。（可兼或） 例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。（既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结词，故例1.8是原子命题。） 1.2.3 析取联结词 由以上例子可以看出联结词“∨”和自然语言中的“或”的意义不完全相同。 与“∧”联结词相似，在自然语言中，通常是具有某种关系的两条语句之间使用析取“或”，但在数理逻辑中，任何两个命题都可以通过用析取“∨”联结起来得到一个新命题。 例1.9 设 P：今天打雷 Q：今天打闪 则 P∨Q：今天打雷或今天打闪 例1.10 设 P：今天是星期一 Q：今天天气很好 则 P∨Q：今天是星期一或天气很好 1.2.4 蕴涵联结词 定义1.4 设P,Q为任意二命题，复合命题“如果P，则Q”称为P和Q的蕴涵式，记为P ? Q，读作“如果P则Q”。 ?称为蕴涵联结词。称P为前件，Q为后件。 P ? Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。P ? Q为假当且仅当P为真Q为假。 命题P? Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。 P Q P ? Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1.2.4 蕴涵联结词 说明： 1）蕴涵联结词也称为条件联结词。“如果P，则Q”也称为P与Q的条件式。 2）蕴涵式的真值关系不太符合自然语言中的习惯，这一点请读者务必注意。 3）给定命题公式P?Q，命题公式Q?P称为P?Q的逆换式；﹁P?﹁Q称为P?Q的反换式；﹁Q?﹁P称为它的逆反式。逆换式类似于中学数学里所学的命题的逆命题；反换式类似于否命题；逆反式类似于逆否命题。 1.2.4 蕴涵联结词 例1.11 甲对乙说：“如果今晚我们班上不开会，则我就和你一起去玩。”请问：在什么情形下，乙认为甲的这句话是假？ 解：如果班上没有开会，甲与乙一起去玩，则自然认为甲说的话为真； 如果班上开会了，甲没有与乙一起去玩，则没有理由认为甲的话为假； 如果班上没开会，甲没有与乙一起去玩，则显然认为甲的话为假； 如果班上开会了，但甲未参加而与乙一起去玩了，则也不能认为甲的话为假。 在自然语言中，对于“如果……则……”这样的语句，当前提为假时，结论不管真假，这个