理论力学-第21-22课时总结.ppt

角动量、动能和转动惯量 温州大学物理与电子信息工程学院 角动量、动能和转动惯量 温州大学物理与电子信息工程学院 角动量和动能 转动惯量张量 内容提要 基本知识回顾 温州大学物理与电子信息工程学院 一.基本知识回顾 1. 角速度矢量 定义及其推导过程 ? ?? ?n r+?r r P P’ M O 要求理解角速度是矢量 加速度 温州大学物理与电子信息工程学院 刚体运动描述、角速度和欧拉角 2. 欧拉角和欧拉运动学方程 理解三个欧拉角的含义及其转动过程，推导欧拉运动学方程 进动 章动 自转 欧拉运动学方程 欧拉角示意图 1. 定轴转动的角动量 对于绕固定轴oz 转动的整个刚体而言: 对于绕固定轴oz的转动的质元 而言: 二.角动量和动能 温州大学物理与电子信息工程学院 思考2.1:处理刚体定轴转动的角动量和单个质点情况有什么区别？ 定义定轴转动的转动惯量: 问题2.1: 连续的情况呢？ 2. 定点转动的角动量 对于一般的定点转动情况 根据角速度与线速度的关系，得： 根据矢量分析，得： 角动量和动能 温州大学物理与电子信息工程学院 矢量叉乘的转化公式 角动量和动能 思考2.2：如果位矢和角速度的直角分量已知，如果写出角动量的直角分量？ 先写出表达式中的位矢和角速度矢量的分量形式 代入公式 整理，得 温州大学物理与电子信息工程学院 问题2.2：能从两个式子看出结果吗？其它分量呢？ 角动量和动能 依照刚才的规律，则y和z轴分量为： 温州大学物理与电子信息工程学院 为了方便起见，我们令： 角动量和动能 温州大学物理与电子信息工程学院 则三个分量可改写为： 解：根据角动量表达式，首先计算： 即： 整理，得： 角动量和动能 温州大学物理与电子信息工程学院 例题1：边长为b,质量为M的均匀立方体，如图所示，坐标原点在立方体的一个顶点，坐标轴为立方体的三条边所在的直线，如果其角速度为 , 则其角动量为多少？ 由对称性，易知： 同理，有： 由对称性，易知： 温州大学物理与电子信息工程学院 角动量和动能 根据定义，有： 思考2.3：其他两个分量等于多少？为什么？ 可以根据对称性直接得到! 3.刚体的转动动能 根据体系的动能定义，得： 角动量和动能 问题3：如何理解刚体的转动动能？如下方法求解刚体的总动能是否正确？I0为固定轴O的转动惯量。 如果写成下面的表达式呢？为什么？ 温州大学物理与电子信息工程学院 根据矢量运算规则，得： 角动量和动能 因此，可以写成： 也就是： 温州大学物理与电子信息工程学院 角动量和动能 例题2：边长为b,质量为M的均匀立方体，如图所示，坐标原点在立方体的一个顶点，坐标轴为立方体的三条边所在的直线，如果其角速度为 ,则其动能为多少？ 解：已经计算得到： 根据定义，转动动能为： 温州大学物理与电子信息工程学院 1.定轴转动的转动惯量 定义： 平行轴定理： 三.转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 问题3.1：普通物理的力学是如何定义定轴转动惯量？ 此时，有： 思考3.1：能否从刚才得到的动能公式获得定轴转动的动能表达式？ 转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 角动量公式: 动能公式: 思考3.2：看来Izz是一个组元，那么具体I如何表达呢? 问题3.2：角动量能写成J=Izzωz吗？ 2.定点转动的转动惯量 定点转动的角动量： 则角动量和角速度矢量 可以写成矩阵形式： 转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 问题3.3：解析几何中坐标如何用矩阵表达？角动量和角速度呢？ 同时，为了方便表达角动量与角速度的关系，我们令： 因此角动量与角速度的关系，可以用矩阵表达： 二维矩阵的物理量称为张量 转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 简化为： 问题3.4：转动动能如何用矩阵表达？ 根据前面结论，定点转动的刚体的转动动能为： 也可以改写为矩阵表达形式： 转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 简写为： 转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 例题3：如图所示,四个质量均为m的质点位于xy平面上，坐标分别为(a,0)，(-a,0),(0,2a),(0,-2a),它们被可不计质量的杆连成一刚体，求对原点的惯量张量。 解：根据定义，有： 因此： 对原点的转动惯量张量： 转动惯量张量 温州大学物理与电子信息工程学院 3. 绕瞬时轴的转动惯量 与定轴转动惯量类似，定义瞬时轴转动惯量： 思考7：绕瞬时轴转动的转动惯量与定点(在瞬时轴上的一点)转动的转动惯量张量关系如何? 瞬时轴的方向其实就是该时刻角速度的方向，如果我们定义它的单位