量子物理2德-波波函数薛定谔方程总结.ppt

德-波、波函数、不确定关系作业: 5----46, 49, 50, 51, 30, 31 第3章 薛定谔方程 薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖 §1 薛定谔方程 1926年，在一次学术讨论会上，当薛定谔介绍完德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方程，就是著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。 由自由粒子波函数 微分，得 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子 这就是一维自由粒子的薛定谔方程。 得 一、自由粒子的薛定谔方程 二、在势场中运动粒子的薛定谔方程 在一维势场 U(x,t) 中的粒子 替换原来的 E 后得到 推广到三维： 一般的薛定谔方程： 引入哈密顿量： 用分离变量法： 将波函数写成 即 时， 当势能与时间无关， 三、定态薛定谔方程 代入薛定谔方程可得： 该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。 定态波函数 数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E只有取一些特定值，才能使方程的解满足波函数的物理条件（单值 有限 连续）。 这些特定的E值称为能量本征值 各E值对应的 叫能量本征函数 本征波函数 故该方程又称为：能量本征值方程 定态波函数: 1.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数 U(x) 2.代入定态薛定谔方程 3.解方程 4.解出能量本征值和相应的本征函数 5.求出概率密度分布及其他力学量 量子力学解题的一般思路 方势阱 是实际情况的极端化和简化: 金属中的电子 0 x U(x)=0 U= ? a 势函数 U= ? 一、一维无限深方势阱 §2 无限深方势阱中的粒子 1. 定态薛定谔方程 阱外： 阱内： 根据波函数有限 阱外: 2. 求通解 二、薛定谔方程和波函数 令 阱内: 则： 其通解为 3. 由波函数的标准化条件定特解 (1) 解的形式成为 通解为 处应 已有A=0，要求 ，只能 sinka 等于零 即 (2) 又 1 ) 粒子能量量子化(能级概念) 2 )最低能量不为零 波粒二象性的必然结果 讨论 零点能 3 )当n趋于无穷时 能量趋于连续 (3)本征函数系 由波函数的归一化性质 定常数 B 得 本征函数 考虑到振动因子 （驻波解） 4. 定态波函数 5. 概率密度 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 n=1 n=2 n=3 n=4 O a x 粒子在阱中各处出现的概率密度不均匀 O a x 时， ? 量子?经典 玻尔对应原理 | 2 Ψn | a n很大 En 0 ·有限深势阱中粒子的概率密度 n=1 n=2 n=3 O a x 粒子在阱外不远处出现的概率不为零！从经典理论很难想象，但实验已证实了这种量子效应。 势阱 波函数作业: 5----48, 55, 56 * 定态假设 频率条件 角动量量子化假设 2. 玻尔对氢原子的工作 1)求出了氢原子的能级公式和轨道半径 玻尔氢原子理论的三条假设: 氢原子轨道半径和能量的计算 由库仑定律和牛顿运动定律: Z—原子序数 氢原子Z=1 n=1, 2, 3, … 消去两式中的 v，以 rn代替 r , 得： a0= r1 = 0.529×10－10 m —玻尔半径 又由角动量量子化条件: (1) 类氢离子: He+, Li++ … 设电子与原子核相距无穷远时的静电势能为零，则原子系统的能量是: 由(1)式 E1=－13.6 eV 氢原子基态能级 得 电子动能 静电势能 （n=1,2,…） 氢原子 能级： 类氢离子的能量： 氢原子的能级与光谱 4 3 2 1 n ∞ E(eV) 赖曼系 巴耳末系 帕邢系 1000 1300 2000 3000 5000 10000 20000 A 。 －13. 6 －3. 39 －1. 51 －0. 85 0 紫外区 红外区 可见区 电离能： E电离=E∞－En=－En 2)氢原子光谱线的波数公式 相应的波数为: 当原子从较高能态 En向较低能态 Em 跃迁时，发射一个光子，其频率满足: 与氢原子光谱公式比较, 得里德伯常