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Company Logo LOGO 卡尔曼滤波 目录 一、卡尔曼滤波背景 二、卡尔曼滤波基本原理 三、常见卡尔曼滤波方法 四、一个实例 一、卡尔曼滤波背景 卡尔曼滤波是以最小均方差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值，它适合实时处理和计算机运算 Wiener滤波是最早提出的一种滤波方法，当信号混有白噪声时，可以在最小均方误差条件下得到信号的最佳估计。但是，由于求解Wiener-Hoff方程的复杂性，使得Wiener滤波实际应用起来很困难，不过Wiener 滤波在理论上的意义是非常重要的。 维纳滤波器的优点是适应面较广。 维纳滤波器的缺点是条件很难满足，对于向量情况应用也不方便。 一、卡尔曼滤波背景 一、卡尔曼滤波背景 1960年卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波文?《A?New?Approach?to?LinearFiltering?and?Prediction? Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）解决维纳滤波的缺点 特点：适合处理多变量系统、时变系统、非平稳随机过程。 二卡尔曼滤波基本原理 二卡尔曼滤波基本原理 2.1建立系统数学模型 2.2滤波器计算原型 2.3滤波器模型的建立 2.4卡尔曼滤波的应用 二卡尔曼滤波基本原理 2.1建立系统数学模型 我们作以下假设:①物理系统的状态转换过程可以描述为一个离散时间的随机过程;②系统状态受控制输入的影响;③系统状态及观测过程都不可避免受噪声影响;④对系统状态是非直接可观测的。 状态随机差分方程： 量测方程： 假设 Wk，Vk为相互独立 ，正态分布的白色噪声 二卡尔曼滤波基本原理 1.2滤波器计算原型 先验估计误差和后验估计误差： 先验估计误差的协方差矩阵为: 后验估计误差的协方差矩阵为: 卡尔曼滤波器的表达式： 二卡尔曼滤波基本原理 1.2滤波器计算原型 卡尔曼增益K的一种形式： 对卡尔曼增益K的确定是建立滤波模型的关键步骤之一，它能显著影响模型的效率. 可通过以下步骤求得：将后验状态估计代入后验估计误差代入后验协方差矩阵，将Pk对K求导使一阶导数为零，可求出K。 二卡尔曼滤波基本原理 1.3滤波器模型的建立 二卡尔曼滤波基本原理 滤波递推： 二卡尔曼滤波基本原理 2.4卡尔曼滤波的应用 卡尔曼滤波器(Kalman Fiher)是一个最优化自回归数据处理算法，它的广泛应用已经超过30年，包括航空器轨道修正、机器人系统控制、雷达系统与导弹追踪等。近年来更被应用于组合导航与动态定位，传感器数据融合、微观经济学等应用研究领域。特别是在图像处理领域如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等当前热门研究领域占有重要地位。 二卡尔曼滤波基本原理 卡尔曼滤波作为一种数值估计优化方法，与应用领域的背景结合性很强。因此在应用卡尔曼滤波解决实际问题时，重要的不仅仅是算法的实现与优化问题，更重要的是利用获取的领域知识对被认识系统进行形式化描述，建立起精确的数学模型，再从这个模型出发，进行滤波器的设计与实现工作。 滤波器实际实现时，测量噪声协方差R一般可以观测得到，是滤波器的已知条件。它可以通过离线获取一些系统观测值计算出来。通常，难确定的是过程激励噪声协方差的值，因为我们无法直接观测到过程信号。一种方法是通过设定一个合适的口，给过程信号“注入”足够的不确定性来建立一个简单的可以产生可接受结果的过程模型。为了提高滤波器的性能，通常要按一定标准进行系数的选择与调整。 三、常见卡尔曼滤波方法 三、常见的卡尔曼滤波方法 3.1扩展卡尔曼滤波 3.2无迹卡尔曼滤波 3.3平方根无迹卡尔曼滤波 三、常见卡尔曼滤波方法 3.1扩展卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波就是将非线性系统利用一阶泰勒级数在上一时刻的附近点处展开去达到线性化的作用，这种方法使得原本不能利用标准卡尔曼滤波的非线性系统，在经过一阶线性化之后，可以使用原来的卡尔曼滤波算法。 存在缺点：1、EKF能使用泰勒级数展开去近似非线性系统的前提是要求泰勒级数展开点和真实值相差不大，这样才能保证局部线性。2、由于它仅仅选用了一阶泰勒级数，高阶项被忽略，这使得对于强非线性，非高斯系统的估计，会出现较大的误差。3、EKF在一阶泰勒级数展开的时候，需要计算雅克比矩阵，然而实际情况中，有的非线性系统的雅克比矩阵的计算很复杂，有的系统甚至没有雅克比矩阵，而在EKF中的每一步迭代中，它都