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水平集（Level Set）的基本方法水平集（Level Set）的基本方法-曲线演化的直观解释映射C(p), p\in [a,b] : R→R^2定义了一个平面的曲线，p是参数，对属于区间[a,b]内的每一个p_0，我们得到曲线上的一点：C(p_0)=[x(p_0),y(p_0))正则曲线：如果例：单位圆曲线的切线弧长参数如果曲线的参数满足p表示曲线上以某一点为标准的弧长.弧长..对弧长参数.曲率.假设T表示切线，N表示法线，则?.Frenet公式水平集（Level Set）的基本方法-数学基础－曲线的微分几何曲率的其他定义假设θ为切线T与x轴之间的夹角，则.隐式曲线的曲率水平集（Level Set）的基本方法-数学直观隐式曲线的法向量?..因为切向量T和法向量N互相垂直，所以平面上任何曲线都可以用曲线上任何一点的T和N的线性组合来表示.水平集（Level Set）的基本方法-曲线演化的直观解释如果只考虑几何形状的变化，那其变化只跟法线方向的变化有关系，则有. 例：沿着曲率变化最大方向的曲线变形. 最后变化为曲率都为常数的曲线停止，即圆. 水平集（Level Set）的基本方法-曲面演化的直观解释平均曲率和高斯曲率每个正则曲面都有两个主曲率两个主曲率的平均值就是平均曲率两个主曲率的积是高斯曲率水平集（Level Set）的基本方法-数学基础－隐函数隐函数(implicit function):自变量和因变量之间的法则是由一个方程式所确定..例子.水平集（Level Set）的基本方法-数学基础－距离场函数距离函数定..距离函数的性质.科学计算可视化作为计算机应用学科中的一个分支，已广泛应用于医疗卫生、地质勘探、气象分析等与人类生活息息相关的重要领域，其主要目标就是把实际采样或模拟仿真得到的三维体数据通过体绘制技术，转化为人眼视觉容易感知的二维图像。我们在本次报告中，主要介绍水平集在地质数据可视化中的应用，图中出示了地质数据的示意图：?从图中可以看出，由于受到噪音的干扰，地质数据可视化是一个烦琐而具有挑战性的课题，主要存在如下两方面的挑战： Challenges of Seismic Visualization （1）An important component of oil and gas exploration （2）Difficult to segment the 3D bounding surface of many complex geologic features 为了更好的刻画地质数据中的断层、河道以及相干体信息，我们采用了水平集的方法进行分割处理，如图所示：Level Set Method Implicit function { (x1,…,xn) | f(x1,…,xn) = c } where c is a constant. It is the set where the function takes on a given constant value. Implicit surface The point set represented by implicit functionThe level set equation 如公式所示：Dynamic implicit surfaces (in motion) Produce physically realizable surface models Modeling, simulation, and segmentation Implicit handling of complex topologies deformed by operations without destroying the representation地质数据的绘制总体流程如图所示：====== 第二节 Level Set 方法概念 ======Level Set －水平集Level set 的数学定义:假设隐函数φ(x,t)表示一个高维空间的方程其在低维空间上的接触面为φ(x,t)=0，其中则level set表示为方程Γ(t)有如下性质，其中接触面表示为：φ(x,t)0 for x∈Ωφ(x,t)0 for x?￣Ωφ(x,t)=0 for x∈?Ω=Γ(t)Level set 的运动表示假设则有Level Set方法的几何意义1）给定一个高维空间在低维空间（n维）定义上的接触面，分析和计算其边界在速度v下的运动轨迹2）速度v是与位置，时间和接触面的几何形状有关的（如平均曲率，法向），还有外部的物理作用力。(UCLA的Osher和Sethian首先提出了这个方法)小结Level set 方法实际上就是求解一个随时间变化的偏微分方程其中Vn表示可以是任何关于时间，位置，几何等量的函数