Qrvltu两道趣题的多种解法及推广.doc

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 两道趣题的多种解法及推广 四川省邻水县九龙中学 任贤德 例1：传说很久很久以前，有位智慧老人，在他临死之前立下遗嘱，将他唯一的家产17头牛分给三个儿子，长子分，次子分，老三分，不能杀牛分肉，也不能伤害兄弟情谊。若无法分，就去找他老朋友黄老头。三兄弟无法分，只好去请教黄老头，老人略一思索，就把自己的一头牛让他们牵走，参与分配，结果长子分得了9头牛（18×＝9），次子分得了6头牛（18×＝6），老三分得了6头牛（18×＝2）。他们刚好把17头牛分完，剩下的一头还给黄老头，三兄弟既高兴又满意。 这就是有名的黄老头分牛问题，它采用了一种奇特的技巧借一法，巧妙地解决了这一数学问题，令人回味无穷。我们再看下面的例子。 例2：有一家商店出售啤酒，它有一个规定，即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。一位顾客从此店买了12瓶啤酒招待客人，问此人最多可从这家商店得到多少瓶啤酒喝？此题的一般解题思路是：喝完12瓶啤酒后，用12个空瓶又可兑换4瓶啤酒，喝完后，再用其中3个瓶子兑换一瓶啤酒，最后只剩下2个空瓶，即最多只能喝12＋4＋1＝17瓶啤酒，并且剩下2个瓶子。似乎本题的求解到此结束，但是巧妙的方法是再借1个啤酒瓶，合起来共3个啤酒瓶，可兑换一瓶啤酒，喝完后，归还一个啤酒瓶，即最多可得到12＋4＋1＋1＝18瓶啤酒喝，本题也巧妙地采用了借一法的解题方法。 事实上，以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题，它们都属于无限可分的问题。其解答如下： 解法二 （例1）的解答：第一次分配 长子分17×头，次子分17×头，老三分17×头 而（1―――）＝；也就是说还剩下总数的没参与分配，即还剩下头 第二次分配 长子分×头，次子分×头，老三分×头 同样剩下参与本次分配数目的，本次分配结束就剩下头 …… 这个过程可一直延续下去，直至无穷，这样，每一次分配结束后，都余下上次分牛剩余数目的没参与分配。 ∴长子分得的牛为： 17×＋×＋×＋…＋×＋… ＝（1＋＋＋…＋＋…） ＝（） ＝9（头） 次子分得的牛为： 17×＋×＋×＋…＋×＋… ＝（1＋＋＋…＋＋…） ＝（） ＝6（头） 老三分得的牛为： 17×＋×＋×＋…＋×＋… ＝（1＋＋＋…＋＋…） ＝（） ＝2（头） （例2）的解答：喝完12瓶啤酒后，用12个瓶子可兑换12×瓶啤酒，用12×个空瓶子又可兑换12×瓶啤酒，所以，此过程可一直持续下去，直至无穷。 故最多能得到的啤酒为： 12＋12×＋12×＋…＋12×＋… ＝12（1＋＋＋…＋＋…） ＝12（） ＝18（瓶） 上面的两个趣题还可用下面的方法来求解。 解法三 （例1）的解答：设长子、次子、老三各分得的牛为x、x、x，由题意可得： x＋x＋x＝17 解之得 x＝18 ∴长子分得的牛为：×18＝9（头） 次子分得的牛为：×18＝6（头） 老三分得的牛为：×18＝2（头） （例2）的解答：由题意，三个瓶子可兑换一瓶啤酒 即：三个瓶子的价值＝一个瓶子的价值＋一瓶纯啤酒的价值 ∴2个瓶子的价值＝1瓶纯啤酒的价值 ∴12个啤酒瓶可兑换（12÷2＝）6瓶纯啤酒 故此人最多可得到的啤酒为12＋＝18（瓶） 实际上，例1可归结为这样的数学问题：有x－1（x为正整数）件物品，三个人按,,(a、b、c为正整数)来分配，这种分法满足：＋＋＝x－1(、、均为正整数)。由此可知：a、b、c为x的正约数，分得的数目l＝，m＝，n＝也是x的正约数。我们可把此式推广为：＋＋＋＋…＝x－1(,a、b、c、d……为x的正约数，x为正整数)。此类题型的构造就是按照上面的讨论，找出符合条件的正整数x。即先找出一个正整数x，并求出其正约数，其中的三个正约数（也可以是四个、五个等）l、m、n满足l＋m＋n＝x－1，并且a＝，b＝，c＝(a、b、c就是x的正约数)，所以必有＋＋＝x－1，据此来构造出此类题型。如24、12就符合讨论的条件。24的正约数为1、2、3、4、6、8、12、24。且2＋3＋6＋12＝24－1，＝12，＝8，＝4，＝2。12