量子力学chapter4.ppt

第4章 力学量随时间的演化与对称性 例 Ex.2 Ex.3： §4 全同粒子体系与波函数的交换对称性 一、全同粒子系的交换对称性 1 全同粒子 到目前为止，我们只讨论了单粒子的问题，现在开始讨论有关多粒子体系的问题。 在自然界中，经常碰到的多粒子系是由同类粒子组成的。所谓同类粒子是指粒子具有完全相同的内禀的客观属性，如静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等。 人们称具有完全相同的内禀的微观粒子为全同粒子。 2 全同性原理 在经典力学中，尽管两个粒子的固有性质完全相同，但我们仍然可以区分这两个粒子。因为它们在运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时刻，都有确定的位置和速度，于是，我们可以判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，如图（a）所示。 在量子力学中，情况完全不是这样。设初始时刻，两个全同粒子的位置可以用两个波函数来表示（如图b） 。在运动过程中，两个波函数会在空间发生交叠（如图c），由于两个粒子固有性质完全相同，它们的位置和动量又不能象经典粒子那样具有确定值。因此，在两个波函数交叠的区域内，我们不能区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。 由此可见：全同微观粒子只有当它们的波函数完全不重叠时，才是可以区分的；当波函数发生重叠后，它们就不可区分了。 全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有的特性。由于这一特性，使得全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互交换后，不引起物理状态的改变。这个结论被称为全同性原理。它是量子力学中的基本原理，是量子力学的基本假设之一。 这一全同性原理对由相同的微观粒子组成的多粒子体系的波函数加了很强的限制。 3 全同粒子体系的交换对称性 现在，我们来看看全同性原理对多粒子体系的性质会引起什么结论。 考虑N个全同粒子组成的多粒子体系，体系的波函数为 其中 表示第i个粒子的全部坐标（例如包括空间坐标和自旋坐标等）。 根据全同性原理，由于我们无法区分哪个是第i个粒子，哪个是第j个粒子。因此，我们认为上述两量子态是相同的。 用符号 表示第i个粒子与第j个量子的全部坐标的交换，即 表示交换算符： 显然 对称波函数 反对称波函数 全同粒子的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。 可以证明：全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变，即：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或只能是反对称的，它们的对称性不随时间的变化而改变。如果体系在某一时刻处于对称的态，则它将永远处于对称的态上。 自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子等，都是费米子。 如果某种粒子所组成的体系的波函数，对于粒子的交换是对称的，就称这种粒子为玻色子。在统计物理中，它们服从玻色－－爱因斯坦分布。 如果某种粒子所组成的体系的波函数，对于粒子的交换是反对称的，就称这种粒子为费米子。在统计物理中，它们服从费米－－狄拉克分布。 实验表明：自旋为整数或零的粒子，如光子、π介子等，都是玻色子。 二、波函数的对称化和反对称化 从上面的讨论，我们知道：根据全同性原理的要求： 对于费米子系统，任意交换两个粒子后，体系的总的波函数必须是反对称的，即 对于玻色子系统，任意交换两个粒子后，体系的总的波函数必须是对称的，即 下面将讨论，在忽略粒子间相互作用情况下，如何给出全同粒子体系的波函数。为了简单，主要讨论两个粒子组成的体系。 设有两个全同粒子（忽略它们的相互作用），则体系的哈密顿算符为： 其中 表示单粒子的哈密顿算符，由于是全同粒子，所以 和 在形式上是完全相同的。它们的本征方程为 ： 设体系的本征方程为 代入有： 一般地，体系的总函数式，当任意交换两个粒子时，不具有一定的对称性，即不满足全同性原理的要求。 于是，为了得到满足全同性原理要求的波函数，需要将总函数表达式进行对称化或反对称化构建。 （a）对于玻色子，要求波函数对称 （1） 对称波函数可如下构成 （2） 波函数可如下构成 （b）对于费米子，要求波函数反对称 从上式还可以发现：若 ，即两个费米子同时处于同一个量子态，则有 ，即这样的状态是不存在的。这就是著名的Pauli不相容原理：不可能有两个相同的费米子处于同一个量子态。 三、N个全同费米子构成的体