数学12013真题.doc

2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.，其中为常数，且，则（ ） （A） （B） （C） （D） （2）曲面在点处的切平面方程为（ ） （A） （B） （C） （D） （3）设，，令，则（ ） （A） （B） （C） （D） （4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则( ) （A） （B） （C） （D） （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A） （B） （C） （D） （7）设是随机变量，且, 则（ ） （A） （B） （C） （D） （8）设随机变量给定常数c满足,则（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数由方程确定，则 ． (10)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 ． (11)设（为参数），则 ． (12) ． （13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若 （14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,为常数且大于零，则________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中 （16）（本题满分10分） 设数列满足条件：是幂级数的和函数， 证明：, 求的表达式. （17）（本题满分10分） 求函数的极值. （18）（本题满分10分） 设奇函数上具有2阶导数，且证明： 存在 存在，使得 （19）（本题满分10分） 设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为， 求曲面的方程 求的形心坐标. （20）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 （21）（本题满分11分） 设二次型，记。 （I）证明二次型对应的矩阵为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。 （22）（本题满分11分） 设随机变量的概率密度为，令随机变量, （I）求Y的分布函数 （II）求概率 （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.，其中为常数，且，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 （2）曲面在点处的切平面方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】设， 则； ； ， 所以该曲面在点处的切平面方程为， 化简得，选A （3）设，，令，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】根据题意，将函数在上奇延拓，它的傅里叶级数为它是以2为周期的，则当且在处连续时，，因此 （4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域上函数为正值，则区域大，积分大，所以，在之外函数值为负，因此，故选D。 （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若，且可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。 （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A） （B） （C） （D） 【答案】(B) 【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。 又，从而。 （7）设是随机变量，且, 则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【解析】由知， ， ，故. 由根据及概率密度的对称性知，，故选（A） （8）设随机变量给定常数