21工程数学线性方程组.ppt

第二章 线性方程组 * 本章将在讨论向量组的线性相关性的基础上，给出齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的判定与求法。 §2.1 向量组的线性相关性 在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发，引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数 乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以，由所有三维数组构成的集合 即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的语言来刻划 一、n 维向量的概念 几何空间中： 点P的坐标 n 维向量: (有序数组) n 维行向量 ? 的分量 n 维列向量: ? = ? ? ai = bi ? = (0, 0, …, 0) 负向量： - ? = (-a1, -a2, …, -an ) n维向量的线性运算: ? = (a1, a2, …, an), ? =(b1, b2, …, bn)， ? + ? = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k ? ? =(ka1, ka2, …, kan ), k ?R. 向量相等：? = (a1, a2, …, an), ? =(b1, b2, …, bn) 零向量： 线性方程组与n维向量的线性运算： 定义4 二、向量组的线性相关性 定义5 注： 1、单个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是该向量α为零向量。 定理1 定理2 若一向量组的部分向量组线性相关,则该向量组也线性相关. 注: 这个定理的等价说法是:如果一个向量组线性无关,则其中任一个部分向量组也必线性无关. 也即一向量组部分线性相关,则整体必线性相关,一向量组整体线性无关,则其部分组必线性无关. 定理3 本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系. 三、 向量组的秩 定义6 注: (1)向量组的极大无关组不是唯一的. (2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的; 推论1 任意n+1个n维向量组必线性相关 推论2 两个等价的线性无关组所含向量个数相同. 注 向量组的两个极大无关组所含向量的个数相同 定义7 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 注 规定,由零向量组成的向量组的秩为0 性质