221直线方程的概念与直线的斜率.ppt

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率 * * 一．直线方程的概念 直线的方程与方程的直线： 一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线. 两重意思: 由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y=kx+b 二． 直线的斜率 设直线y=kx+b上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有k= (△x≠0，x1≠x2). 1． 斜率： 2．通常把直线y=kx+b 中的系数k叫做这条直线的斜率； 3．垂直于x轴的直线不存在斜率. 三．直线的倾斜角 1．倾斜角的定义：x轴正向与直线向上的方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角； 2．规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角； 3．垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°. 直线的倾斜角与斜率的关系 1．斜率和倾斜角都反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度； 2．直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x轴相交的直线，把直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角；第二种是与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角； 3．直线倾斜角的范围是0°≤α180°; 4．当k=0，直线平行于x轴或与x轴重合. 此时直线的倾斜角为0°； 当k0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大； 当k0时，直线的倾斜角为钝角，k值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等. E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞). 例1．求经过A(－2，0)，B(－5，3)两点的直线的斜率。 解：x1=－2，x2=－5，y1=0，y2=3， △x=－3，△y=3， 所以斜率 k= 例2．画出方程3x+6y－8=0的图象。 解：由已知方程解出y，得y=－ x+ ， 当x=0时，y= ， 当x=2时，y= 这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线 在坐标平面内作点A(0， )，B(2， )，作直线AB，即为所求方程的图象。 例3．下面选项中两点的直线不存在斜率的是（ ） （A）(4，2)与(－4，1) （B）(0，3)与(3，0) （C）(3，－1)与(2，－1) （D）(－2，2)与(－2，5) D 例4． 已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2= . 解：如图所示，结合图形知： 若α1≠0°，则α2=180°－α1； 若α1=0°，则关于x轴对称的直线l2与l1平行或重合，α2=α1=0°. 例5．求证A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三点共线. 解：利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率， 因为直线AB和AC的斜率相同，又直线AB和AC过同一点A，所以A、B、C三点共线. 例6．已知直线l1和l2关于直线y=x对称， 若直线l1的斜率为 ，求直线l2的斜率 . 解：在l2上任取不同的两点A(a，b)，B(c，d) 因为l1和l2关于直线y=x对称， 所以A，B两点关于直线y=x 的对称点A’(b，a)，B’(d，c)就一定在l1上， 设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2， 则k1= ∴k2 = 例7．已知实数x、y满足2x+y=8，当2≤x≤3 时，求 的最大值与最小值. 解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x+y=8，且2≤x≤3， A B 可知点P在线段AB 上移动，并且A、B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)，由于 的几何意义是直线OP的斜率， 且kOA=2，kOB＝ ， 所以可以得 的最大值为2， 最小值为 ． A B 练习题： 1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 C 2．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为（ ） （A）1 （B）4