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机器人学基础第二章 位姿描述与齐次变换 主要内容： 引言 概念：刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿。 2.1刚体位姿描述 1.位置描述{位置矢量} 对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量 表示。 2.方位的描述{旋转矩阵} Orientation (1)矢量的方向 为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量 相对于坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵。 旋转矩阵的几何意义: 1) 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}相对于参考坐标系的姿态. 2.2坐标变换 1.坐标平移 例：坐标系｛A｝与｛B｝具有相同的方位，但两坐标系原点不重合。其中 为[1,1,1]T。假设点P在{B}中的描述为 ，求该点在坐标系{A}中的描述。 2.坐标的旋转 3.一般变换 一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有: 例 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置. 2.3齐次坐标 刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即 概念：将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标。 空间任意矢量v的方向可用4*1列阵表达为 几个特定意义的齐次坐标 以工业上常见的关节式机器人为例，机器人实际上可视为由一系列关节连接起来的连杆组成，把坐标系固定在机器人的每一个连杆的关节上，可用齐次坐标来描述这些坐标系之间的相对位置和姿态方向（简称位姿）。 齐次变换既有较直观的几何意义，又可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。 位姿描述——动坐标系位姿的描述 位姿描述——动坐标系位姿的描述 例题：图中表示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB?=?2，YB?=?1，ZB?=?0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4?4矩阵表达式。 位姿描述——手部位姿的描述 简记为： 齐次变换矩阵还可以表示为坐标平移和坐标旋转的复合，可将齐次变换矩阵分解为两个矩阵相乘的形式： 其中： 齐次变换矩阵 的数学意义： （1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换； （2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位； （3）点的运动算子。 描述坐标系{B}相对于{A}的位姿。可解释如下： (1){B}的坐标原点相对于{A}的位置是： (2){B}的X轴： (3){B}的Y轴： (2){B}的Z轴： (1)原点：取手部中心点为原点OB； (2)接近矢量：关节轴线方向的单位矢量a； (3)姿态矢量：手指连线方向的单位矢量o； (4)法向矢量：n同时垂直与a、o。 上海电机学院 机械学院 LOGO 刚体位姿描述 1 坐标变换 2 齐次坐标和齐次变换 3 物体的变换及逆变换 4 通用旋转变换 5 多自由度 机器人要完成相应任务，需要末端执行器能够准确找到操作对象的位置，因此需要各个关节的协调运动，将手部运送至指定位置。 各关节如何运动才能保证手部准确运动到相关位置呢？ 运动学问题 位姿描述 位姿描述 齐次变换法 矢量法 旋量法 四元数法 注意： (1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。 (2)AP为位置矢量。 V为空间任意矢量。 V的方向可由该矢量与三个坐标轴夹角的方向余弦来表示。 注意： (1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。 (2)AV为方向矢量。 该矩阵即表示刚体B相对于坐标系｛A｝的方位。 注意： (1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。 (2)下角标B代表被描述的坐标系｛B｝。 (2)刚体的方向 2个常用的公式： 矩阵性质： 绕x、y、z旋转θ的旋转矩阵分别为 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 这些旋转变换可以通过右图推导（以绕z轴旋转为例） 这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果. 2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标 . 3) 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中. 3.位姿的描述 为了完全描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将物体B与某一坐标系｛B｝相固接。｛B｝的坐标原点一般选择物体B的特征点上，如质心、对称中心等。 刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即 注意： 当表示位置时，旋转矩阵为单