223向量数乘运算及其几何意义学案(人教A版必修4).doc

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 自主学习 1．向量的数乘 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. (2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________. (3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ0时)或a的反方向(λ0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝__________(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝__________. 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________. 4．共线向量定理 (1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________． (2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0. 已知平面内O，A，B，C四点，若＝x＋y，(x，yR)． (1)若x＋y＝1，求证A、B、C三点共线； (2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？ 对点讲练 向量的线性运算例1　计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 回顾归纳　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 变式训练1　计算： (1)3(6a－b)－9(a－b)；(2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 共线向量定理的应用例2　判断下列各组向量是否共线(其中e1、e2为不共线向量)． (1)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；(2)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. 回顾归纳　判断两个非零向量a，b是否共线，关键是看能否找到一个实数λ，使b＝λa，若这样的实数λ不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程(组)是否有解． 变式训练2　两个非零向量a、b不共线． (1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线． 共线向量在平面几何中的应用 例3　 如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 回顾归纳　向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质． 变式训练3　已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于(　　) A．λ(＋)，λ(0,1) B．λ(＋)，λ C．λ(－)，λ(0,1) D．λ(－)，λ 1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的． 2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量． 3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题. 课时作业 一、选择题 1．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于(　　) A.a＋b B．a＋b C.(a＋b) D．a＋b 2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (kR)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 3．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D 4．在ABC中，点D在线段CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于(　　) A．0 B. C. D．3 5．已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　) A．P在ABC内部 B．P在ABC外部 C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题 6．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、