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22数字信号处理

2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第*页 X 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 正变换 FT成立的充分必要条件是序列 x(n) 满足绝对可和的条件, 即满足下式: 逆变换 n和m均为整数 2.2.2 序列傅里叶变换的性质 FT的周期性 线性 时移和频移 FT的对称性 时域卷积定理 频域卷积定理 帕斯维尔(Parseval)定理 1. FT的周期性 M为整数 因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数, 周期是2π。 这样X(ejω)可以展成傅里叶级数,其系数是x(n) ,其实定义式已经是傅里叶级数的形式 。 直流频率: 最高频率: 例如 一般只分析±π之间或0 ~ 2π之间的FT。 结论: 2. 线性 那么 设 式中a, b为常数 3. 时移与频移 设X(e jω)=FT[x(n)], 那么 时移性质 频移性质 4. FT的对称性 (1)共轭对称与共轭反对称以及它们的性质 设序列xe(n)满足下式: xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 类似地,定义共轭反对称序列 xo(n)= - x*o(-n) 结论 3.任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示, 即 x(n)=xe(n)+xo(n) 共轭对称序列 1.共轭对称序列其实部是偶函数, 而虚部是奇函数。 2.共轭反对称序列的实部是奇函数, 而虚部是偶函数。 共轭反对称序列 频域函数X(ejω)也有和时域类似的概念和结论 X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) 一般函数 共轭对称部分 共轭反对称部分 Xe(ejω) =X*e(e - jω) Xo(ejω) = - X*o(e - jω ) (2) 对称性 对称性质(1):序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) 两部分, 实部对应的FT具有共轭对称性, 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。 x(n)=xe(n)+xo(n) 对称性质(2):将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n),序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω), 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ejω)。 即 (3) 实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列, 其FT只有共轭对称部分He(ejω), 共轭反对称部分为零。 H(ejω)=He(ejω) 共轭对称性 其实部是偶函数, 虚部是奇函数 HR(ejω)=HR(e -jω) HI(ejω)= - HI(e -jω) H(ejω)=H*(e-jω) 实序列的FT具有共轭对称性 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2[h(n)+h(-n)] ho(n)=1/2[h(n)-h(-n)] 根据共轭对称和共轭反对称的定义可得 因为h(n)是实因果序列, 可以表示: 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 he(n)是偶函数,ho(n)是奇函数 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第*页 X

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